ラグランジュ要素 — CAE用語解説

ラグランジュ要素は、要素の辺上だけでなく内部にも節点を持つ要素だ。例えば9節点四角形要素は、4つの角＋4つの辺中点＋1つの内部節点の構成。セレンディピティ要素（8節点）は内部節点を持たない。

補間の完全性が高まるんだ。9節点ラグランジュ要素はξ²η²の項まで含む完全な2次多項式を表現できる。8節点セレンディピティだとξ²η²の項が欠けて、特定のひずみモードが表現できない不完全さがあるんだよ。

内部節点の分だけ計算コストが増える。実務では8節点セレンディピティ四角形でも十分な精度が出ることが多い。ただし歪んだ形状の要素だとセレンディピティ要素は負のヤコビアンが出やすい。そういう場合はラグランジュ要素の方が安定だよ。

27節点ヘキサ要素がラグランジュ型、20節点がセレンディピティ型。27節点の方が精度は高いけど節点数7つ分のコスト増がある。非線形解析や大変形解析では20節点で十分なことが多いね。

• セレンディピティ要素
• アイソパラメトリック
• 形状関数

同じ問題で9節点と8節点を比較してみると違いが実感できるよ。特に歪んだ要素で差が出る。