軸対称解析

そう。形状、材料、荷重、境界条件が全て回転軸に対して対称な場合、3次元問題を2次元断面の解析に帰着できる。円筒座標 $(r, \theta, z)$ で $\theta$ 方向に変化がないという仮定だ。

実はものすごく多い：

圧力容器はASME規格でも軸対称解析が認められている。3次元で圧力容器全体をモデル化するより、軸対称の断面解析のほうが100分の1以下のDOFで同等以上の精度が出る。

円筒座標系で4つの応力成分が存在する：

そう。軸対称の特徴はフープ応力 $\sigma_\theta$ が存在すること。$r$ 方向に変位 $u_r$ があると、周方向のひずみは：

完璧な理解だ。半径 $r$ の円周は $2\pi r$ だから、半径が $u_r$ だけ増えると円周は $2\pi(r + u_r)$ になる。ひずみは $\Delta L / L = u_r / r$。この$1/r$ の項が軸対称解析の核心で、平面応力/ひずみにはない特徴だ。

軸対称のフックの法則：

そう。軸対称は「見た目は2次元、中身は3次元」だ。応力状態は完全に3次元で、$\sigma_\theta$ がゼロになることはない（$r = 0$ を除いて）。

ラメの問題（Lamé problem）は軸対称の最も基本的な理論解だ。内半径 $a$, 外半径 $b$, 内圧 $p$ のとき：

内面の最大フープ応力：

要点：

その通り。ただし非軸対称な荷重（ノズル荷重、地震荷重）や非軸対称な形状（穴、不連続部）がある場合は3次元解析が必要だ。軸対称でスクリーニングし、必要な部分だけ3次元で詳細解析するのが効率的なアプローチだ。

軸対称要素は $(r, z)$ 平面の2次元要素だが、内部の定式化に$2\pi r$ の重みが入る。これは要素を回転軸回りに一周させた体積に対応する。

軸対称要素の剛性マトリクスの積分：

非常にいい質問だ。$r = 0$ での積分は特異性を持つ。実装上は以下の対応がされている：

その通り。Ansysでは同じPLANE182/183要素のKEYOPTで切り替える。NastranではCQUADX系の別要素になる。

1. 回転軸（$r = 0$）の拘束

そう。軸対称解析で「100 kNの集中荷重」を $r = 50$ mm の節点に入力すると、実際には周方向に分布した $100 / (2\pi \times 0.05) = 318$ kN/m の線荷重になる。入力値がそのまま「リング状荷重」になることを理解していないと、荷重のオーダーが合わない。

フーリエ展開（Fourier series expansion）で非軸対称成分を分離できる。荷重を周方向の高調波（$\cos n\theta, \sin n\theta$）に分解し、各高調波に対して2次元解析を行い、最後に重ね合わせる。

NastranではCQUADX + SOL 101 でフーリエ展開解析ができる（ハーモニック要素）。Abaqusでは CAXA 系要素（asymmetric-axisymmetric）で非軸対称荷重を扱える。

原理的には可能だが、局所荷重をフーリエ級数で表現するには多数の高調波が必要で、計算コストが3次元に近づく。ノズル荷重のような局所問題は3次元サブモデリングのほうが効率的だ。

要点：

圧力容器の設計だ。ASME BPVC Section VIII Div. 2では、Design by Analysisの手法としてFEM軸対称解析が広く使われている。

そう。半楕円鏡板や皿形鏡板のナックル部（曲率が変化する部分）に不連続応力が発生する。この応力は膜理論では計算できず、FEMの軸対称解析で初めて正確に評価できる。

実務的なポイント：

Oリングの圧縮変形は典型的な軸対称接触問題だ。ゴム（非圧縮材料）のOリングが溝に押し込まれて変形する。

ポイント：

Oリングの設計では100通り以上のパラメータ（溝深さ、溝幅、Oリング径、材料硬度）を評価することがある。3次元では不可能だが、軸対称なら各ケース数秒で解ける。

ディスク自体は軸対称だが、ブレードは非軸対称。実務では：

ディスクのボア部（中心穴の周辺）やウェブ部の応力は軸対称で十分正確に出る。ブレード取付部のダブテール溝はローカルに非軸対称だから、3次元のサブモデルが必要。

軸対称解析の反力は断面上の値だが、全周に換算するには $2\pi r$ を掛ける。例えば $r = 100$ mm の節点の反力が $F_r = 50$ N なら、全周の力は $50 \times 2\pi \times 0.1 = 31.4$ N…ではなく、軸対称要素では通常全周分の値がすでに含まれている。ソルバーによって異なるから、マニュアルで確認すること。

汎用FEMは全て軸対称に対応しているが、圧力容器設計では専用ツールが便利だ。

Nozzle ProはWRC 297/537の計算に加えて、軸対称FEMで不連続応力を自動計算する。ASME Div. 2の応力分類（膜応力、曲げ応力）も自動で行う。圧力容器エンジニアにとっては汎用FEMより効率的だ。

AbaqusのCAXA要素はフーリエ展開の高調波数に制限がある。NastranやAnsysのハーモニック要素のほうがフーリエ展開には柔軟。ただし多くの場合、非軸対称荷重は3次元サブモデルで扱うほうが実務的だ。

ASME Div. 2の応力分類（一般膜、局所膜、一次曲げ、二次応力）は汎用FEMの結果から手動で分類する必要がある。専用ツールはこれを自動化してくれるから、設計者の負担が大幅に減る。

軸対称自体は成熟した技術だが、応用面で発展がある。

軸対称の2次元断面にフーリエ展開で周方向の変化を加えたもの。従来のフーリエ展開は線形問題に限られたが、最近は非線形問題（接触、塑性）にもフーリエ展開を適用する研究がある。

例えばベアリングの接触問題。内輪と外輪は軸対称だが、荷重（ラジアル荷重）は非軸対称。フーリエ展開で非軸対称の接触力を分解し、各高調波で軸対称の接触解析を解いて重ね合わせる。

1〜2桁の高速化が期待できる。特にベアリングやギアのような回転体の接触は、この手法の恩恵が大きい。

最近の実務では軸対称グローバルモデル → 3次元ローカルモデルのサブモデリングが標準化しつつある。

手順：

Abaqusの *SUBMODEL キーワードは軸対称→3次元のサブモデリングに対応している。軸対称モデルの $(r, z)$ 座標を3次元の $(x, y, z)$ に自動マッピングする。Ansysでも Workbench のサブモデリング機能で同様のことが可能。

水素貯蔵容器（高圧水素タンク）の設計が注目分野だ。水素が材料中に拡散して脆化を引き起こす現象（水素脆化）を応力解析と連成する。

軸対称の応力場→水素の応力駆動拡散→脆化による材料劣化→応力の再配分…という連鎖をFEMで追跡する。圧力容器の大部分は軸対称だから、この連成解析を2次元で効率的に実施できる。

FCV（燃料電池車）の水素タンク（700気圧）やパイプラインの水素輸送で、軸対称のFEM連成解析が設計ツールとして使われている。

軸対称特有の盲点がいくつかある。

回転軸が横に動くため、応力分布が非物理的になる。特異剛性マトリクスのエラー（Nastranの FATAL 2012 等）が出ることもある。

多くのソルバーは軸対称要素の $r = 0$ 上の節点に自動的に $u_r = 0$ を設定するが、手動で設定が必要なソルバーもある。必ず確認すること。

軸対称では $\sigma_\theta$（フープ応力）が最大応力になることが多い。内圧を受ける円筒では $\sigma_\theta > \sigma_z > \sigma_r$ だ。$\sigma_\theta$ を見落とすと最大応力を過小評価する重大なミスになる。

von Mises応力をチェックする場合も、$\sigma_\theta$ は自動的に含まれるが、応力分類（ASME Div. 2の膜/曲げ分離）では個別に確認する必要がある。

ソルバーによって荷重の解釈が異なる：

「リング荷重」という意味だ。内圧100 MPaを面として与える場合はどのソルバーでも正しく処理されるが、集中力を与えるときは全周の合計力として入力することを忘れないこと。

$r \to 0$ で $\varepsilon_\theta = u_r / r$ の分母がゼロに近づくため、数値的な精度低下が起きることがある。特にメッシュが粗いと $r = 0$ 付近の要素で応力がばらつく。

対策：

確認項目：

$D/t < 20$ で差が5%以上になる。$D/t < 10$（厚肉）ではラメの式が必須。FEMは当然どちらも正確に解けるが、検証でどちらの理論解と比較するかを間違えないこと。

圧力容器の事故の多くはフープ応力による破裂だ。$\sigma_\theta$ は軸対称解析で最も注目すべき成分であることを常に意識してほしい。