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計算ツール

ヘルツ接触応力シミュレーター

Hertz接触理論に基づき、球・円柱の接触における圧力分布、接触半径、表面下最大せん断応力をリアルタイムで計算・可視化します。

パラメータ設定
接触形態
R₁ — 半径1
mm
R₂ — 半径2
mm
E₁ — 弾性率(体1)
GPa
E₂ — 弾性率(体2)
GPa
ν₁ — ポアソン比1
ν₂ — ポアソン比2
P — 荷重
N
計算結果
—
μm
接触半幅 a
—
MPa
最大接触圧 p₀
—
MPa
最大せん断応力 τ_max
—
μm
τ_max 深さ z*
接触面圧力分布 p(x)
表面下応力分布 σz, τmax vs 深さ z
接触パッチ形状（上面図）
ヘルツ接触アニメーション — 弾性変形と接触圧力
理論・主要公式

$$a = \left(\frac{3FR^*}{4E^*}\right)^{1/3}$$

ヘルツ接触半径 $a$（m）：$F$ は荷重（N）、$R^*$ は等価曲率半径（m）、$E^*$ は等価弾性率（Pa）。

$$p_0 = \frac{3F}{2\pi a^2}$$

最大接触圧力（Pa）：接触楕円中心での圧力。構造用鋼では 1〜3 GPa に達する場合も。

$$\delta = \frac{a^2}{R^*} = \left(\frac{9F^2}{16 E^{*2} R^*}\right)^{1/3}$$

圧縮量（m）：2球の中心間近接量。荷重の2/3乗に比例する非線形弾性変形。

ヘルツ接触応力とは

🙋
「ヘルツ接触応力」って何ですか？ボールペンで紙を押すときみたいな、点や線で接する接触のことですか？
🎓
その通り！大まかに言うと、ボールベアリングの玉とレースの接触や、歯車の歯が噛み合う瞬間など、「点や線で接するもの同士が押し合う時に、ごく狭い領域に発生する超高圧の応力」のことだよ。シミュレーターの「荷重P」のスライダーを大きくしてみて。接触面の圧力（色が赤い部分）が一気に高くなるのがわかるよね。あの小さな面積で全体の荷重を支えるから、とんでもない圧力が生まれるんだ。
🙋
え、そうなんですか！でも、表面が一番押されてるんでしょ？なんで表面より表面下で壊れるって聞いたことがあるんですが…。
🎓
良いところに気づいたね。確かに最大圧力は表面の中心で発生する（$p_0$）。でも、材料をズタズタに引き裂く「最大せん断応力」は、表面下の位置で最大になるんだ。右の「応力分布グラフ」を確認してみて。せん断応力のピークが表面より少し下にあるだろう？実務で軸受が疲労で剥離するのは、ほとんどがこの表面下のせん断応力が原因なんだよ。材質の「ポアソン比ν」を変えると、その深さも変わってくるから確認してみて。
🙋
なるほど！じゃあこのシミュレーターで「接触形状」を球から円柱に変えると、何が大きく変わるんですか？
🎓
接触の広がり方が変わるんだ。球は点接触だから円形の接触面ができる。円柱は線接触だから細長い長方形の接触面になる。上の「接触面プレビュー」を見比べてみよう。円柱の方が同じ荷重でも接触面積が広がりやすいから、最大圧力$p_0$は球より低めに出るよ。でもその分、最大せん断応力が発生する深さ$z^*$は球より深くなる。ローラー軸受や歯車の歯面の設計では、この違いをしっかり押さえておくことが大事なんだ。

よくある質問

球の曲率半径R1を球の半径（正の値）に、平面の曲率半径R2を無限大（∞）に設定してください。数値入力ができない場合は、R2に非常に大きな値（例：1e10 mm）を入力することで平面とみなせます。
荷重に対して接触面積が小さすぎる可能性があります。曲率半径が極端に小さい、またはヤング率が非常に大きい材料を設定していないか確認してください。また、単位系（Nとmm、MPaなど）が統一されているかもご確認ください。
対応しています。凹面の場合は曲率半径を負の値（例：-10 mm）で入力してください。相当曲率半径R*の計算式に自動で反映され、凹面と凸面の接触（例：ボールとソケット）を正しくシミュレートできます。
接触表面直下で発生する最大せん断応力の位置（深さ）は、材料の疲労破壊（剥離やピッチング）の発生箇所を予測する指標となります。例えば、転がり軸受や歯車の設計において、この深さに介在物があると損傷リスクが高まるため、材料選定や熱処理の参考にできます。

実世界での応用

転がり軸受（ボールベアリング・ローラーベアリング）：玉やローラーとレース道の接触部でヘルツ応力が発生します。繰り返し荷重により、表面下の最大せん断応力領域から疲労亀裂が発生し、表面剥離（フレーキング）に至ります。寿命予測の基本計算です。

歯車：歯面が噛み合う瞬間は線接触に近い状態となり、歯面に高い接触応力が働きます。これが歯面の疲労（ピッチング）や焼きつきの原因となります。歯形を設計する際の重要な検討項目です。

鉄道の車輪とレール：車輪の踏面とレール頭部は曲率を持った接触をしており、非常に高いヘルツ応力が発生します。これがレールのスケーリング（鱗状剥離）や、車輪の転走面疲労の原因となります。

人工関節（ヒップジョイントなど）：金属やセラミックの人工骨頭とソケットの接触もヘルツ接触モデルで解析されます。接触圧力が高すぎると摩耗が促進されるため、材料選定や曲率設計に応用されます。

よくある誤解と注意点

このシミュレーターを使い始めるとき、特にCAE初心者が陥りがちな落とし穴がいくつかあります。まず大きな誤解は、「材料を強く（高強度鋼に）すれば、どんな高荷重でも大丈夫」という考え方です。確かに材料強度は重要ですが、ヘルツ接触応力は「面圧」です。例えば、荷重を2倍にすると、接触半径は $a \propto P^{1/3}$ で約1.26倍にしかなりませんが、最大接触圧 $p_0$ は $P^{2/3}$ に比例して約1.59倍に跳ね上がります。材料強度の向上だけでは追いつかず、形状（曲率半径）を大きくして接触面積を増やすという根本的な設計見直しが必要になるケースが多いんです。

次に、パラメータ設定での注意点。シミュレーターでは「平面」を曲率半径∞としていますが、実務では完全な平面はほとんど存在しません。例えば、ボールベアリングの玉とレースの接触では、レース溝の曲率半径 $R_2$ は玉の半径 $R_1$ より少し大きい値（例えば1.05倍）を設定します。ここを「平面」とみなすと、接触圧力の計算結果が実際よりかなり高く（つまり安全側に厳しく）出てしまい、過剰設計につながる可能性があります。

最後に、このツールの前提を理解しておきましょう。ヘルツ理論は完全弾性体・滑らかな表面・弾性限界内が大前提です。つまり、塑性変形が起きるほど荷重がかかったり、表面がざらざらだったり、繰り返し荷重による疲労が主な関心事である場合、この結果は「第一近似」に過ぎません。例えば、焼入れした鋼の表面に微小な凹みがあると、そこで応力集中が起き、計算上の最大せん断応力の位置とは全く別のところから破壊が始まることもあります。シミュレーション結果は、あくまで理想化された「基準値」として捉え、実機試験やより高度なCAE解析で検証する姿勢が大切です。

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