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ヘルツ接触応力シミュレーター

Hertz接触理論に基づき、球・円柱の接触における圧力分布、接触半径、地下最大せん断応力をリアルタイムで計算・可視化します。

$p_0 = \left(\dfrac{6PE^{*}}{\pi^3 R^{*2}}\right)^{1/3}$, $\quad a = \left(\dfrac{3PR^*}{4E^*}\right)^{1/3}$
パラメータ設定
接触形態
R₁ — 半径120 mm
R₂ — 半径220 mm
E₁ — 弾性率(体1)200 GPa
E₂ — 弾性率(体2)200 GPa
ν₁ — ポアソン比10.30
ν₂ — ポアソン比20.30
P — 荷重1000 N
—
μm
接触半幅 a
—
MPa
最大接触圧 p₀
—
MPa
最大せん断応力 τ_max
—
μm
τ_max 深さ z*
接触面圧力分布 p(x)
地下応力分布 σz, τmax vs 深さ z
接触パッチ形状（上面図）

理論背景

ヘルツ接触理論（1882年）は、弾性体間の接触問題を半空間近似で解析的に解いたものです。接触半径・最大接触圧・地下応力は荷重と等価弾性率から決まります。

$$E^* = \left(\frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}\right)^{-1}, \quad R^* = \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)^{-1}$$
球接触：$a = \left(\dfrac{3PR^*}{4E^*}\right)^{1/3}$, $\quad p_0 = \dfrac{3P}{2\pi a^2}$, $\quad \delta = \dfrac{a^2}{R^*}$
円柱接触（単位長さ）：$a = \sqrt{\dfrac{4P_\ell R^*}{\pi E^*}}$, $\quad p_0 = \dfrac{2P_\ell}{\pi a}$

地下最大せん断応力は球接触で $z^* \approx 0.48a$ に、円柱接触で $z^* \approx 0.786a$ に位置し、疲労破壊の起点となります。

計算例

計算例：玉軸受の接触応力

内径 15mm の鋼球（E=206 GPa、ν=0.3）が鋼製平板に 500 N の荷重で押し付けられる場合：

鋼の表面疲労強度（約 3～4 GPa）を超えているため、軸受サイズの再選定が必要です。

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