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摩擦学模拟器

双圆柱线接触模拟器 — 赫兹线接触

可视化两平行圆柱所受线载荷的赫兹线接触，计算接触半宽和最大接触应力。适用于滚子轴承、凸轮和齿轮齿面的接触应力评估。

参数设置
线载荷 P'
N/mm
圆柱 1 半径 R1
mm
圆柱 2 半径 R2
mm
弹性模量 E
GPa

假设两材料均为钢（泊松比 nu=0.3）。凸-凹接触时请在 R2 输入较大的半径。

计算结果
—
等效半径 Re
—
接触半宽 a
—
最大接触应力 pmax
—
平均接触应力 pavg
两圆柱截面与接触带／赫兹压力分布

左：两圆柱的截面和宽度 2a 的接触带 / 右：赫兹压力 p(x)=pmax·√(1-(x/a)²)（中央为 pmax）

理论与主要公式

两平行圆柱（半径 $R_1$, $R_2$）受单位长度线载荷 $P'$ 时的赫兹线接触公式。

等效半径与等效弹性模量：

$$\frac{1}{R_e} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}, \quad \frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}$$

接触半宽 $a$ 与最大接触应力 $p_\text{max}$：

$$a = \sqrt{\frac{4\,P'\,R_e}{\pi\,E^*}}, \quad p_\text{max} = \sqrt{\frac{P'\,E^*}{\pi\,R_e}} = \frac{2\,P'}{\pi\,a}$$

沿接触宽度方向的压力分布与平均接触应力：

$$p(x) = p_\text{max}\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}, \quad p_\text{avg} = \frac{\pi}{4}\,p_\text{max} = \frac{P'}{2a}$$

凸-凹接触（如球与外圈滚道）时，凹面半径代入负值到 $1/R_e$ 中。点接触（球）使用另外的公式，半宽 $a$ 按载荷的 1/3 次方增加。

双圆柱线接触模拟器是什么

🙋
滚子轴承里，滚子被夹在内圈和外圈之间滚动。实际接触的那条带子，到底有多窄呢？
🎓
这就是典型的"赫兹线接触"。简单说，两个圆柱理论上沿一条线接触，但被挤压后会展开为宽度 $2a$ 的细带。用模拟器的默认值（线载荷 $P'=1000$ N/mm、$R_1=20$ mm、$R_2=30$ mm、钢-钢）计算时，接触带的宽度 $2a \approx 0.73$ mm，大概只有 8 根头发丝的宽度，而那里承受着 1750 MPa——是钢材屈服应力的好几倍。
🙋
超过屈服应力了？怎么不立刻塑性变形呢？
🎓
这正是有趣之处——赫兹接触是"三轴压缩"应力状态。接触点正下方的材料被周围材料约束，剪切应力被抑制得很小。实际破坏起源于最大剪应力 $\tau_\text{max} \approx 0.30\,p_\text{max}$ 出现的地下深度 $z \approx 0.78\,a$ 处，疲劳裂纹从那里萌生并发展成剥落（flaking）。在模拟器中增大 $P'$ — $p_\text{max}$ 按 $\sqrt{P'}$ 增长，所以载荷增加 4 倍，应力只翻一倍。这与按 2/3 次方增长的点接触（球）非常不同。
🙋
改变 $R_1$ 或 $R_2$ 时，哪个影响更大？是不是改小的那个比较有效？
🎓
好问题。等效半径是调和平均：$1/R_e = 1/R_1 + 1/R_2$，所以小的那个占主导。$R_1=20$、$R_2=30$ 时 $R_e=12$ mm，非常接近 $R_1$。把 $R_2$ 从 30 倍增到 60，$R_e$ 只到 15 mm，$p_\text{max}$ 仅下降约 10%。把较小的 $R_1$ 从 20 倍增到 40，$R_e$ 升到 24 mm，$p_\text{max}$ 下降约 30%。"先扩大瓶颈侧的半径"是基本原则。
🙋
改变弹性模量 $E$ 应力也会变。是不是软材料应力更低？
🎓
对，$p_\text{max} \propto \sqrt{E^*}$，所以 $E$ 减半应力大约降到 $1/\sqrt{2}$ 倍。塑料齿轮（$E \approx 3$ GPa）的接触应力大约只有钢齿轮（$E=210$ GPa）的 1/8。代价是接触带变宽、接触面变形增大，会带来噪声和精度下降问题。设计永远是权衡。点接触（球）的情况见 hertz-contact.html，深度方向应力分布见 subsurface-stress-hertz.html，椭圆接触见 contact-ellipse-hertz.html，车轮-轨道线接触应用见 wheel-rail-contact.html。

常见问题

线接触公式以单位长度的线载荷 P' [N/mm] 表示。对有效接触长度 L [mm] 与总载荷 P [N]，关系为 P' = P / L。例如长度 25 mm 的滚子承受 25000 N，则 P' = 1000 N/mm。实际中为避免滚子端部应力集中（端部效应），会施加凸度（鼓形修形），所以有效长度应比名义长度短一些来估算。
如球轴承中球与外圈滚道的凸-凹接触，把凹面半径代入负值到 1/R_e = 1/R_1 + 1/R_2 中。凹凸两半径越接近，R_e 越大，接触带越宽、接触应力越低，这就是"贴合（共形）接触"的设计思想。本模拟器只接受正值，作为近似可以在 R_2 输入较大的值代替。
取决于用途和材料，作为参考：高碳铬轴承钢（SUJ2 / AISI 52100）的滚子轴承允许 p_max = 2000～4000 MPa；齿轮齿面（渗碳钢）为 1500～2500 MPa；轴-凸轮接触为 1000～2000 MPa。p_max 超过屈服应力时不会立即塑性变形，是因为赫兹接触处于三轴压缩状态，剪应力被抑制。寿命预测不仅看 p_max，还要结合循环次数，使用 Lundberg-Palmgren 式或 Harris 式。
理想的平行圆柱接触用线接触公式。滚子轴承（圆柱滚子、滚针、圆锥滚子）、齿轮啮合、凸轮与从动件、车轮与轨道都属于线接触。球轴承、球-平面接触、半球状端部用点接触公式。两者之间（圆锥/球面滚子）则形成椭圆接触。详细的点接触参见 hertz-contact.html，椭圆接触参见 contact-ellipse-hertz.html。

现实世界中的应用

滚子轴承（圆柱滚子、滚针、圆锥滚子）：本模拟器最直接的应用对象。滚子与内圈/外圈滚道的接触是典型的平行圆柱线接触，将设计载荷换算为线载荷 P' 后评估 p_max。SUJ2 钢的滚动接触疲劳寿命基准为 p_max=4000 MPa。实际中通过凸度（鼓形修形）使接触压力分布集中在中央，避开端部应力集中以延长寿命。

齿轮齿面接触（赫兹应力）：啮合瞬间的齿面接触在各点曲率不同，按线接触处理。齿轮设计标准 ISO 6336 与 AGMA 2001 求节圆上的接触应力 σH 并与许用值比较，其基础公式即为赫兹线接触本身。是评估点蚀和齿面破损（剥落）的核心设计公式。

凸轮与从动件的接触：凸轮型线与滚子/平面从动件的接触也按赫兹线接触评估。凸轮旋转中曲率半径连续变化，因此需在各相位计算 R1（凸轮半径），将应力最高的相位作为设计临界点。发动机气门凸轮通常控制在 p_max=1500～2000 MPa。

铁路车轮与轨道的接触：车轮踏面与轨道顶面的接触近似为双圆柱线接触，p_max 可达 1000～1500 MPa。是预测反复滚动接触造成的轨道顶面剥皮（shelling）和车轮轮缘磨损的基础。详见 wheel-rail-contact.html。

常见误解与注意点

最常见的误解是"接触应力超过屈服应力就会立刻塑性变形"。赫兹接触中接触点正下方处于受周围材料约束的三轴压缩状态，剪应力被抑制到最大主应力的一半以下。钢的赫兹接触中即使 p_max 达到屈服应力 σy（钢约 200～800 MPa）的 3～5 倍，基于 Mises 应力的安定（shakedown）分析中往往仍在弹性范围内。这正是为何滚子轴承允许 p_max=4000 MPa。请勿把单轴拉伸的直觉直接套用过来。

其次常见的是"既然最大应力在表面，那么表面处理决定寿命"的误解。线接触中 p_max 确实出现在接触带中央的表面，但驱动滚动接触疲劳（RCF）的最大剪应力 τ_max ≈ 0.30·p_max 出现在地下深度 z ≈ 0.78·a 处。默认条件下 a=0.364 mm，临界深度约 0.28 mm。所以热处理不能只考虑"表面硬化"，有效硬化层深度必须充分覆盖这一应力深度。渗碳与高频淬火的深度规格都要在此理论深度上留有余量。

最后容易忽视的是"赫兹公式忽略了摩擦、润滑、切向力"这一前提。本公式仅考虑法向载荷，假设完全弹性、无滑动。实际滚动接触中存在微小滑动（微滑）和切向力，会使最大剪应力位置靠近表面（McEwen 解）。润滑油膜薄时会出现表面起源损伤（peeling、smudging）。EHL（弹性流体润滑）分析以及考虑深度方向应力分布的详细评估见 subsurface-stress-hertz.html。赫兹公式作为设计的第一近似很强大，但在实务中理解其假设的边界至关重要。

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