› 双圆筒线接触模拟器 返回
摩擦学模拟器

双圆筒线接触模拟器 — 赫兹线接触

从压在两个平行圆筒上的线载荷计算赫兹线接触的接触半宽和最大接触应力，进行可视化。用于滚动轴承、凸轮、齿轮轮齿的接触应力评估的实用工具。

参数设置
线载荷 P'
N/mm
圆筒 1 半径 R1
mm
圆筒 2 半径 R2
mm
弹性系数 E
GPa

假设两种材料都是相同的钢（泊松比 ν=0.3）。凸-凹接触时，请在 R2 中输入较大的半径。

实时计算结果（载荷 100% 时点）
—
等价半径 Re
—
接触半宽 a
—
最大接触应力 pmax
—
最大剪应力 τmax
—
平均接触应力 pavg
—
接触宽度 2a
—
当前线载荷 P'
—
τmax 深度 z
接触可视化 — 圆筒被压紧，接触带变宽
100%

左＝双圆筒截面与接触宽度 2a 的接触带（随载荷变宽）／右＝赫兹压力分布 p(x)=pmax·√(1-(x/a)²)（峰值 pmax 随载荷增长）。还标出地下最大剪应力点 z≈0.78a。

理论·主要公式

两个平行圆筒（半径 $R_1$，$R_2$）受单位长度线载荷 $P'$ 压制时的赫兹线接触公式。

等价半径和等价弹性系数：

$$\frac{1}{R_e} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}, \quad \frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}$$

接触半宽 $a$ 和最大接触应力 $p_\text{max}$：

$$a = \sqrt{\frac{4\,P'\,R_e}{\pi\,E^*}}, \quad p_\text{max} = \sqrt{\frac{P'\,E^*}{\pi\,R_e}} = \frac{2\,P'}{\pi\,a}$$

接触宽度方向的赫兹压力分布和平均接触应力：

$$p(x) = p_\text{max}\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}, \quad p_\text{avg} = \frac{\pi}{4}\,p_\text{max} = \frac{P'}{2a}$$

凹-凸接触（例如：球与外圈沟槽）时，凹面的半径代入为负到 $1/R_e$ 中。点接触（球）情况下采用不同的公式，接触半径 a 与载荷的 1/3 次方增加。

双圆筒线接触模拟器简介

🙋
滚动轴承的滚子被内圈和外圈夹住并滚动，对吧。那接触实际上在多窄的带上受力呢？
🎓
这正是"赫兹线接触"的内容。简单说，圆筒在理论上"线"接触，但按下后就变成宽度为 $2a$ 的细带。用本模拟器的默认值（线载荷 $P'=1000$ N/mm，$R_1=20$ mm，$R_2=30$ mm，钢-钢）计算，接触带宽度约 $2a \approx 0.73$ mm，大约8根头发丝那么粗。这个细带上压着 1750 MPa 的压力——是屈服应力的好多倍呢。
🙋
咦，超过屈服应力了，怎么没坏呢？
🎓
这就有趣了。赫兹接触是"三轴压缩状态"。接触点直下的材料被周围材料压住了，剪应力被限制得很小。实际上裂纹生成的地方是最大剪应力，大约在地表下 $z \approx 0.78a$ 的深度。从那儿开始疲劳裂纹扩展，导致剥落（flaking），这就是滚动轴承寿命的本质。试试用模拟器增加 $P'$ 看看——$p_\text{max}$ 跟 $\sqrt{P'}$ 成正比，所以载荷增加4倍，应力只增加2倍。这和点接触（球）按 2/3 次方增加不一样呢。
🙋
改 $R_1$ 或 $R_2$ 的时候，哪个更有效？小的那个改了比较有效吧？
🎓
好问题！等价半径 $R_e$ 用调和平均计算：$1/R_e = 1/R_1 + 1/R_2$，所以小的那个影响力更大。比如 $R_1=20, R_2=30$ 的话 $R_e=12$ mm，非常接近 $R_1$。即便把 $R_2$ 从 30 增加到 60，$R_e$ 也只变成 15 mm，$p_\text{max}$ 只下降 10% 左右。反过来，$R_1$ 从 20 增加到 40，$R_e$ 就变成 24 mm，$p_\text{max}$ 可以下降 30%。所以"把瓶颈的那一侧的半径加粗"才是基本策略。
🙋
弹性系数 $E$ 改了应力也变，是不是柔软的材料应力更低？
🎓
对，$p_\text{max} \propto \sqrt{E^*}$，所以 $E$ 减半，应力约变成 $1/\sqrt{2}$ 倍。塑料齿轮（$E \approx 3$ GPa）的接触应力是钢（$E=210$ GPa）的 1/8 左右。不过材料软的话接触宽度 $a$ 会变宽，变形量增加，噪音和精度就下降了。设计总是在权衡。点接触（球）的情况看 hertz-contact.html，深度方向应力分布看 subsurface-stress-hertz.html，椭圆接触看 contact-ellipse-hertz.html，车轮-钢轨的线接触应用看 wheel-rail-contact.html 吧。

常见问题

线接触公式用单位长度的线载荷 P' [N/mm] 表示。滚子的有效接触长度 L [mm] 和总载荷 P [N] 的关系是 P' = P / L。比如滚子长 25 mm 承受 25000 N，那就是 P' = 1000 N/mm。实际上为了避免滚子端部应力集中，要施加冠形（crown）形状，有效长度会比实际短。
球与外圈沟槽这样凸面和凹面接触时，凹面的半径代入 1/R_e = 1/R_1 + 1/R_2 为负值。凹面和凸面半径越接近，R_e 就越大，接触带越宽，接触应力越低。这叫"共形（conformal）接触"设计。本模拟器只接受正值，可以用较大的 R_2 值近似代替。
根据用途和材料差别很大，但大致标准是：高碳铬轴承钢（SUJ2）滚动轴承允许 p_max = 2000~4000 MPa；齿轮轮齿（渗碳钢）1500~2500 MPa；轴上凸轮接触 1000~2000 MPa。即便 p_max 超过屈服应力，也不会立刻塑性变形，因为赫兹接触是三轴压缩，剪应力被压制。寿命预测用的是 Lundberg-Palmgren 式或 Harris 式，结合循环次数，而不只是 p_max。
理想的平行圆筒接触用线接触公式。圆柱滚子轴承、针轮轴承、圆锥滚子轴承、齿轮啮合、凸轮和从动件、车轮和钢轨都属于线接触。球轴承、球-平面接触、半球型触头属于点接触。两者之间的（圆锥滚子、球型滚子等）是椭圆接触。详细的点接触看 hertz-contact.html，椭圆接触看 contact-ellipse-hertz.html。

实际应用

滚动轴承（圆柱滚子、针滚子、圆锥滚子）：本模拟器最直接适用的对象。滚子与内圈、外圈轨道面的接触是典型的平行圆筒线接触，设计载荷换算成线载荷 P' 后评估 p_max。SUJ2 中 p_max=4000 MPa 是滚动接触疲劳寿命的标准。实际上在滚子端部施加冠形（barrel shape）以分散接触压力到中央，延长寿命。

齿轮轮齿接触（赫兹应力）：齿面啮合时的接触是曲率不同的线接触。齿轮设计的标准 ISO 6336、AGMA 2001 里的齿面接触应力 σH，基础公式就是赫兹线接触。齿面点蚀（pitting）或剥落（flaking）评估直接用这个设计式。

凸轮与从动件接触：凸轮轮廓与滚子从动件、平面从动件的接触也是赫兹线接触。凸轮转动中曲率半径连续变化，需要对各位置（每一相位）计算 R1（凸轮半径），找出应力最高的位置作为设计临界值。发动机凸轮通常管理在 p_max=1500~2000 MPa。

铁路车轮与钢轨接触：车轮踏面与钢轨头部接触近似两圆筒线接触，p_max 达到 1000~1500 MPa。反复滚动接触导致钢轨头部的剥落（spalling）、磨削（scuffing）缺陷，也是轨道维护的基础。详见 wheel-rail-contact.html。

常见误解和注意事项

最常见的误解是，"接触应力超过屈服应力就立刻塑性变形"。赫兹接触下，接触点直下的材料被周围约束，形成三轴压缩状态，剪应力控制得很低。即便钢的赫兹接触中 p_max 数倍超过屈服应力 σy（钢约为 200~800 MPa），基于米塞斯应力来看通常仍然处于弹性范围内。滚子轴承允许 p_max=4000 MPa 正是得益于这种三轴压缩。单轴拉伸的感觉不能用在这里。

次常见的误解是，"最大应力在表面发生，所以表面处理决定寿命"。线接触里 p_max 确实在表面中央出现，但滚动接触疲劳（RCF）的起点——最大剪应力 τ_max ≈ 0.30·p_max——发生在地表下深度 z ≈ 0.78·a。默认条件中 a=0.364 mm，所以约 0.28 mm 深。所以热处理不只要"表面硬化"，有效硬化层深度必须充分覆盖这个应力深度。渗碳、高频感应淬火的深度规范都是根据这个理论深度加余量制定的。

最后要记得，"赫兹公式是忽视摩擦、润滑、切向力的理想公式"。本式只考虑法向载荷，假设完全弹性、无滑动。实际滚动接触有微滑动（microslip）和切向力，最大剪应力位置会向表面移动（McEwen 解）。润滑油膜薄的时候也会有表面起点的损伤（peeling、smudging）。详细的 EHL（弹流）分析和深度方向应力分布见 subsurface-stress-hertz.html。赫兹公式作为第一近似很强大，但理解它的假设前提对实务至关重要。

关联工具

赫兹接触应力模拟器 基于赫兹接触理论，实时计算并可视化球、圆柱接触的压力分布、接触半径、最大剪应力。从理论背景到疲劳破坏起点应力位置的完整讲解。轴承... 赫兹接触力学模拟器 赫兹接触力学模拟器是简单解决球或圆柱接触问题的在线工具。立即计算接触半径、最大接触压力、沉陷量。还可视化表面下应力分布，用于机械设计和强度分析... 球轴承接触应力模拟器 — 赫兹接触和内外圈应力 球轴承接触应力模拟器从球直径、球数、节圆直径、总载荷实时计算每球最大载荷和内外圈赫兹接触应力。可看出凹面内圈和凸面外圈的应力差... 齿轮强度计算工具 齿轮强度计算工具"NovaSolver"可简单计算齿轮的弯曲应力、接触应力、安全系数。只需输入模数、齿数、材料等设计条件，即可实时评估强度。允... 车轮、钢轨接触模拟器 — 椭圆赫兹接触和粘着极限 解析铁路车轮与钢轨头部的椭圆赫兹接触。从轮重、车轮半径、钢轨头部曲率、摩擦系数实时计算接触椭圆长短半径、最大接触应力、粘着极限切向力。

使用指南

  1. 输入载荷 P（N/mm）：滚动轴承的线载荷一般设在 1000~5000 N/mm 范围
  2. 输入各圆筒曲率半径 R1、R2（mm）：比如凸轮机构的凸轮半径 30 mm、从动件半径 15 mm
  3. 输入材料杨氏模量 E（GPa）：钢的情况 210 GPa，球墨铸铁的情况 165 GPa
  4. 模拟运行后，接触半宽 a、等价半径 Re、最大接触应力 pmax 自动计算

具体计算例

针轮轴承评估案例：P=3000 N/mm、R1=4 mm（内圈）、R2=8 mm（滚子）、E=210 GPa（轴承钢），结果得等价半径 Re≈2.67 mm、接触半宽 a≈0.62 mm、最大接触应力 pmax≈1850 MPa。齿轮轮齿接触同样的杨氏模量条件下 P=2500 N/mm、R1=12 mm、R2=18 mm，结果 pmax≈1420 MPa，相对允许应力 1600 MPa 有设计余量。

实务中的注意