クエット流れ（平行平板間せん断流）

上板が速度 $U$ で移動する平行平板間の定常層流だ。線形速度分布 $u(y) = Uy/h$ が厳密解になる。Navier-Stokes方程式の最も単純な非自明解であり、CFDソルバーの粘性項の実装検証に使う。ASME V&V 20のCode Verification手順の出発点に最適だ。

速度場が空間的に線形だから、任意の離散化スキーム（有限体積法、有限要素法、差分法）で厳密に解けるはずだ。もし数値解が理論解と一致しなければ、離散化や境界条件の実装にバグがあることが直ちに判明する。圧力勾配付きの一般化クエット流れ（Couette-Poiseuille流れ）に拡張すれば、放物線分布も検証できる。

定常・非圧縮・完全発達流れの仮定で、Navier-Stokes方程式は

一般化クエット流れ（Couette-Poiseuille流れ）では

$h = 0.01$ m、$U = 1$ m/s、$\mu = 0.001$ Pa·s（水相当）、$\rho = 1000$ kg/m³。Re = $\rho U h/\mu = 10000$ だが層流解を強制する。

simpleFoamを使う。ケースの構成は:

fixedValueで壁面速度を直接指定する。movingWallVelocityという境界条件もあるが、これはメッシュが移動するALE計算用であり、壁面が固定位置で速度のみ指定する場合はfixedValueで良い。

壁面境界条件でMoving Wall optionを有効にし、Speed = 1 m/sを設定する。定常ソルバー（Pressure-Based, Coupled or SIMPLE）で解く。離散化はSecond Orderを選択。

Re = 10000で乱流モデルを有効にすると、層流理論解からずれる。k-εモデルは壁近傍で乱流粘性を生成し、速度プロファイルが非線形になる。これは乱流モデルの挙動であってコードのバグではない。Code Verificationでは必ずLaminarモデルで実行し、理論解との一致を確認する。

線形速度場だから、線形以上の離散化スキームで理論的には1セルで厳密解が得られる。実際にはFVMの面補間（linear, upwind等）の次数に依存する。

いや、「厳密一致するはずなのにしない」場合にバグが検出できる。境界条件の内部補間、壁面速度の取り扱い、圧力方程式のゼロ勾配条件など、実装の細部でミスが潜んでいることがある。また、非一様メッシュ（バイアスメッシュ）での精度検証にも使える。

Pythonスクリプトで以下を自動化する。

その通り。圧力勾配を入口・出口の圧力差で与えれば、放物線分布の理論解との比較に切り替わる。判定基準はメッシュ依存になり、GCIベースの評価に切り替える。この段階でupwindとlinearの差が顕著になるから、離散化スキームの精度比較が意味を持つ。

クエット流れの壁面せん断応力は $\tau_w = \mu U/h$ で一定。CFDソルバーの壁面摩擦係数（skin friction coefficient）$C_f = \tau_w / (0.5\rho U^2) = 2\mu/(\rho U h) = 2/\text{Re}_h$ と比較する。

壁関数は乱流の壁法則（$u^+ = y^+$ の粘性底層、$u^+ = (1/\kappa)\ln(y^+) + B$ の対数則）に基づくから、層流のクエット流れには不適切だ。壁関数付きで解くとせん断応力に系統的な誤差が入る。層流検証では必ずLaminar viscous modelを使うこと。

べき乗則流体 $\tau = K\dot{\gamma}^n$ のクエット流れは理論解が存在する。速度プロファイルは

$n = 0.5$（擬塑性）と $n = 1.5$（ダイラタント）の2ケースを実施する。理論値との一致を確認してから、実際のレオロジーデータ（高分子溶液や血液など）に進む。非ニュートンモデルのパラメータ入力（OpenFOAMの transportProperties での viscosityModel powerLaw の設定）が正しいことを、この簡単な検証で保証する。

5セル/高さ方向のメッシュでの速度プロファイル比較だ。

壁面近傍の速度補間方法がソルバーによって異なるため、壁隣接セルでのグラディエント計算に微小な差が出ることがある。特にOpenFOAMのcorrected snGrad と uncorrected snGrad で壁面フラックスの精度が変わる。非直交メッシュでは差が拡大するから、skewness > 0 のメッシュでの比較テストも有用だ。

クエット流れの場合、div(phi,U) のスキームは upwind でも linearUpwind でも limited linear でも結果は同じ（線形場に対して全て厳密）。差が出るのは非直交メッシュでの laplacian(nu,U) のスキーム選択だ。

その通り。クエット流れ + 直交メッシュは全てのスキームが同じ結果になる。これこそがCode Verificationの起点として優れている理由だ。ここから非直交メッシュや非線形問題に進むことで、各設定の影響を段階的に切り分けられる。

領域分割の境界でのプロセッサ間通信が正しく実装されていれば、逐次実行と完全に一致するはずだ。ただし浮動小数点の加算順序が変わることで丸め誤差レベル（$10^{-15}$オーダー）の差は出る。

非常に重要なベンチマーク問題だ。内円筒が角速度 $\Omega$ で回転する場合、速度分布は

DiPrimaとSwinney（1981）の実験データが参照になる。臨界Taylor数は $\text{Ta}_c \approx 41.2$（半径比 $\eta = 0.5$）。FEAやCFDでの固有値解析、または非定常シミュレーションでのトルク変化から臨界値を特定する。OpenFOAMではpimpleFoamで時間発展させ、軸方向の速度成分が成長し始めるRe数を探る。

Stokesの第2問題（振動平板）の厳密解がある。壁面速度 $U_0\cos(\omega t)$ に対して

振動周期 $T = 2\pi/\omega$ の100分の1以下の時間刻みが目安。Crank-Nicolson（2次精度）やBDF2（2次精度）の時間離散化の精度を、$\Delta t$ の系統的変化で確認する。時間方向のRichardson外挿で時間離散化誤差を推定できる。

平面クエット流れの乱流遷移は線形安定性理論では予測できない（全てのRe数で線形安定）という興味深い性質がある。実際には Re $\approx$ 350 で遷移が起きるが、これは有限振幅擾乱によるサブクリティカル遷移だ。DNSで遷移過程を再現し、実験データ（Tillmark and Alfredsson, 1992）と比較する研究が活発に行われている。

乱流DNS/LESコードの検証に使える。遷移Re数の再現性、統計量（平均速度分布、Reynolds応力）の実験値との一致がValidation指標になる。ただし遷移は初期擾乱に敏感だから、統計的な比較が必要だ。これはCode Verificationではなく、Solution Verificationの領域だ。

以下を順に確認する。

反復法の収束残差を確認する。simpleFoamのデフォルト残差基準が$10^{-5}$程度だと、速度場にその程度の誤差が残る。residualControlでUの基準を$10^{-8}$以下に設定すれば機械精度近くまで追い込める。

blockMeshで z 方向を1セルにし、前後面にempty境界条件を設定する。よくあるミスは:

クエット流れのような2D問題であれば、3D（z方向に複数セル + symmetry）で解いても同じ結果になるべきだ。一致しなければempty境界条件の実装に問題がある。これも一種の回帰テストとして有用だ。

クエット流れは本質的に単純だからSIMPLEで十分収束するはずだ。収束が遅い場合:

同様だ。これらのソルバーはデフォルト設定でクエット流れを数十反復で収束させる。収束しない場合はまず単位系の確認だ。Fluentはデフォルトでm, kg, sだが、mmで入力してしまうと物性値のオーダーがずれて収束が極端に遅くなることがある。