临界电流密度分析
理论：Bean临界态模型
概述
超导电阻为0，为什么交流使用时会有损耗？
实用超导体（第二类超导体）中，磁场以细磁通束的形式进入内部，被材料缺陷钉扎。磁场变化时磁通挣脱钉扎移动，每次都损失能量，这就是交流损耗（磁滞损耗）。Bean对此做了简单建模，认为超导体内要么流过临界电流密度Jc的电流，要么完全没有电流。外加磁场时，从表面起形成流过Jc的层来屏蔽磁场，磁场增强时该层向内扩展。用这个简单模型，磁场穿透、磁化和损耗都能手算。
穿透磁场、磁化与俘获磁场
a为板半宽，R为圆柱半径。B_p为磁场到达板中心时的磁场。
交流损耗（板、平行磁场）
Bean 1962年的论文
Bean于1962年为解释硬（钉扎强的）超导体的磁化发表了临界态模型。电流密度要么为临界值要么为0，这是大胆的简化，却很好地解释了磁化曲线的磁滞和交流损耗，至今仍是超导线材和磁体设计的出发点。后来扩展为考虑Jc磁场依赖的Kim模型，以及用幂律联系电场与电流密度的模型，也用于数值分析。
算例
例1：NbTi交流损耗（Jc = 3×10⁹ A/m²、50 Hz、密度6,500 kg/m³）
| 半宽 a | B_p | 振幅0.01 T | 振幅0.1 T | 振幅0.5 T |
|---|---|---|---|---|
| 5 μm | 0.019 T | 0.22 W/kg | 20.2 W/kg | 112 W/kg |
| 50 μm | 0.19 T | 0.022 W/kg | 21.6 W/kg | 864 W/kg |
| 0.5 mm | 1.89 T | 0.0022 W/kg | 2.2 W/kg | 271 W/kg |
振幅大于B_p时损耗大致与a成正比，小于B_p时反而与a成反比。振幅与B_p相当时损耗最大。
例2：YBCO块材俘获磁场（半径15 mm）
| 条件 | Jc | 俘获磁场上限（长圆柱） |
|---|---|---|
| 77 K | 1×10⁸ A/m² | 1.88 T |
| 30 K | 1×10⁹ A/m² | 18.8 T |
实际块材高度有限，数值比这小。30 K级时电流与磁场产生的力很大，需要用金属环加固以防开裂。加固的块材在26 K下有17.6 T俘获磁场的报道（2014年）。
我以为细丝越细越好，但小振幅时粗的损耗反而小。
小振幅时磁场只进入表面薄层。板越厚B_p越大，同样振幅相对侵入越浅，损耗越小。反之振幅超过B_p、磁场出入整个板时，损耗与磁化大小即Jc·a成正比，所以越细越小。电力电缆、变压器这类暴露在大振幅交流磁场中的用途，要把细丝做细并绞合（扭绞）以切断细丝间的耦合电流。而MRI磁体这类直流使用的线材，交流损耗不太成问题，做成细丝主要是为了防止磁通跳跃。数值分析中为按形状求这类损耗，使用基于电场-电流密度幂律的有限元法等。
分析流程
- 根据线材实测数据给出使用温度、磁场下的Jc。
- 用Bean模型估算穿透磁场和损耗量级。
- 实际截面形状用幂律E-J特性做有限元分析。
- 计入Jc的磁场依赖（Kim模型等）。
- 由损耗求制冷机负荷，确认温升和失超余量。
“制冷机跟不上”
某超导线圈试验中，直流运行没有问题，但周期性改变电流运行时温度持续上升。原因是设计时只按直流损耗选了制冷机。用Bean模型估算线材磁滞损耗，电流变化引起的损耗接近制冷能力的一半。降低电流变化速度并换成细丝线材后温度稳定。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| Jc取常数 | 高磁场损耗算错 | 计入磁场依赖 |
| 只按直流选制冷机 | 温度上升 | 加上交流损耗 |
| 认为越细越好 | 小振幅时适得其反 | 比较振幅与B_p |
| 忽略耦合电流 | 低估损耗 | 考虑扭绞节距 |
| 直接用长圆柱公式 | 高估俘获磁场 | 按有限高度分析 |
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