可压缩湍流建模
理论与物理
可压缩湍流基础理论
老师，可压缩湍流和不可压缩湍流有什么区别呢？k-epsilon模型之类的可以直接用吗？
问得好。在可压缩湍流中，密度脉动变得不可忽略。在不可压缩情况下，可以直接使用雷诺分解 $u_i = \bar{u}_i + u_i'$，但在可压缩情况下，需要引入Favre平均（密度加权平均）。
Favre平均定义如下。
使用它，质量守恒方程会变成与不可压缩情况相同的形式，因此更容易处理。
原来如此，是把密度脉动吸收到平均里面去了啊。但是具体会出现什么样的附加项呢？
基于Favre平均的RANS方程
Favre平均化后的动量方程形式如下。
这里 $u_i'' = u_i - \tilde{u}_i$ 是Favre脉动分量。最后一项对应于雷诺应力张量。
雷诺应力部分的形式和不可压缩时一样呢。那么湍流动能方程会变成什么样呢？
Favre平均的湍流动能 $\tilde{k} = \widetilde{u_i''u_i''}/2$ 的输运方程，包含了不可压缩情况下没有的、可压缩特有的项。
这里重要的是压力-膨胀相关项 $\Pi_d = \overline{p'\frac{\partial u_k''}{\partial x_k}}$ 和可压缩耗散 $\varepsilon_c$（膨胀耗散）。
$\Pi_d$ 和 $\varepsilon_c$ 是可压缩性特有的项啊。在什么情况下这些项不能忽略呢？
可压缩性修正模型
当湍流马赫数 $M_t = \sqrt{2k}/a$（$a$ 是声速）变大时，这些项就会起作用。具体来说，大约在 $M_t > 0.3$ 时影响变得显著。我来介绍几个有代表性的可压缩性修正模型。
| 模型 | 可压缩耗散 | 适用范围 |
|---|---|---|
| Sarkar (1992) | $\varepsilon_c = \alpha_1 \bar{\rho} \varepsilon M_t^2$ | 自由剪切流、混合层 |
| Zeman (1990) | $\varepsilon_c = \alpha_2 \bar{\rho} \varepsilon f(M_t)$ | 包含激波的流动 |
| Wilcox (1992) | $k$-$\omega$ 的可压缩性修正 | 一般可压缩流动 |
| SST可压缩性修正 | $F(M_t)$ 函数修正 | Menter SST模型的附加修正 |
Sarkar模型中通常使用 $\alpha_1 \approx 1.0$，能够很好地再现高马赫数混合层中扩散率的降低。实验表明，当 $M_c$（对流马赫数）增加时，混合层的增长率会显著下降，要正确捕捉这一点，可压缩性修正是必不可少的。
我记住了，湍流马赫数超过0.3就要注意了。老师，这和超音速喷流的噪声预测之类的事情也有关联吗？
没错。在超音速喷流噪声预测中，可压缩湍流的精确建模直接影响到声源强度的估计精度。NASA等研究机构在这个领域也在积极开展研究。
可压缩湍流的“密度脉动”——实际上会消耗湍流动能
在亚音速湍流中，密度几乎恒定，所以“只需关注流速的脉动即可”，但当马赫数超过0.3时，密度脉动就变得不可忽略了。根据Morkovin假说，在低到中等马赫数时，密度脉动的影响很小，但在马赫数5以上的高超音速领域，情况就不同了。正如Sarkar等人在1990年代所展示的那样，除了速度耗散之外，还会产生由“压力与膨胀相互作用”引起的能量耗散途径。如果忽略此项，湍流动能会被高估，导致热流预测出现巨大偏差——这是高速飞行器热设计中可能导致致命错误的项。
各项的物理含义
- 时间项 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：想象一下打开水龙头的瞬间。最初水流会不稳定地喷溅出来，过一会儿才会变成稳定的水流，对吧？描述这个“变化过程中”的就是时间项。心脏搏动导致血流脉动，发动机阀门每次开闭引起流动变化，这些都是非定常现象。那么定常分析是什么？就是只观察“经过足够长时间、流动稳定之后”——也就是将此项设为零。由于计算成本大幅降低，先用定常求解是CFD的基本策略。
- 对流项 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：把落叶扔进河里会怎样？它会随着水流被带到下游，对吧？这就是“对流”——流体运动搬运物质的效果。暖风的暖气能到达房间的另一端，也是因为空气这个“搬运工”通过对流输送热量。这里有趣的是——此项包含“速度×速度”，因此是非线性的。也就是说，流速加快，此项会急剧增强，变得难以控制。这就是湍流的根本原因。常见的误解：“对流和传导差不多”→ 完全不一样！对流是流动搬运，传导是分子传递。效率有天壤之别。
- 扩散项 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：有过在咖啡里倒入牛奶后放置不管的经历吗？即使不搅拌，过一会儿也会自然混合，对吧？那就是分子扩散。那么下一个问题——蜂蜜和水，哪个更容易流动？当然是水。因为蜂蜜的粘度（$\mu$）高，所以不易流动。粘度越大，扩散项越强，流体的运动就变得“粘稠”。在雷诺数小的流动（缓慢、粘稠）中，扩散占主导。相反，在Re数大的流动中，对流占压倒性优势，扩散则成为配角。
- 压力项 $-\nabla p$：推注射器的活塞，液体就会从针头有力地射出，对吧？为什么呢？因为活塞侧是高压，针头侧是低压——这个压差产生了推动流体的力。水坝放水也是同样的原理。天气图上等压线密集的地方会怎样？没错，会刮强风。“有压差的地方就会产生流动”——这就是纳维-斯托克斯方程压力项的物理含义。这里的误解点：CFD中的“压力”通常指表压而非绝对压力。切换到可压缩分析后结果突然变得奇怪，原因可能就是混淆了绝对压力/表压。
- 源项 $S_\phi$：被加热的空气会上升——为什么呢？因为比周围空气轻（密度低），所以被浮力推上去。这个浮力作为源项添加到方程中。此外，燃气灶火焰产生化学反应热、工厂电磁泵对金属熔液施加洛伦兹力……这些都是“从外部向流体注入能量或力”的作用，都用源项表示。忘记源项会怎样？在自然对流分析中忘记加入浮力，流体就完全不动——就像冬天在房间里开了暖气，暖空气却不上浮一样，得到物理上不可能的结果。
假设条件与适用范围
- 连续介质假设：克努森数 Kn < 0.01（分子平均自由程 ≪ 特征长度）时成立
- 牛顿流体假设：剪切应力与应变速率呈线性关系（非牛顿流体需要粘度模型）
- 不可压缩性假设（Ma < 0.3 的情况）：将密度视为常数处理。马赫数0.3以上需考虑可压缩性效应
- Boussinesq近似（自然对流）：仅在浮力项中考虑密度变化，其他项使用恒定密度
- 不适用的情形：稀薄气体（Kn > 0.1）、超音速/高超音速流动（需要激波捕捉）、自由表面流动（需要VOF/Level Set等方法）
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 速度 $u$ | m/s | 从入口条件的体积流量换算时，注意截面积单位 |
| 压力 $p$ | Pa | 区分表压与绝对压力。可压缩分析中使用绝对压力 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | 空气: 约1.225 kg/m³@20°C、水: 约998 kg/m³@20°C |
| 粘性系数 $\mu$ | Pa·s | 注意与运动粘性系数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] 混淆 |
| 雷诺数 $Re$ | 无量纲 | $Re = \rho u L / \mu$。层流/湍流转换的判断指标 |
| CFL数 | 无量纲 | $CFL = u \Delta t / \Delta x$。直接关系到时间步长的稳定性 |
数值解法与实现
数值方法详情
用CFD求解可压缩湍流时，数值格式和不可压缩时不一样吗？
变化很大。在可压缩流动中会出现像激波这样的不连续面，因此对流项的离散化必须使用迎风格式（upwind scheme）。我们来整理一下有代表性的格式。
| 格式 | 特点 | 精度 | 在可压缩湍流中的注意事项 |
|---|---|---|---|
| Roe | 近似黎曼求解器 | 2阶（结合MUSCL） | 低马赫数时过度耗散 |
| AUSM+ | 质量通量分离型 | 2阶及以上 | 低马赫/高马赫均适用 |
| HLLC | 3波近似黎曼 | 2阶 | 接触间断分辨率良好 |
| 中心差分+人工粘性 | Jameson型 | 2阶 | 适用于LES，耗散控制是关键 |
用LES求解可压缩湍流时呢？格式的选择方法会改变吗？
LES/DES中的可压缩湍流
在LES（大涡模拟）中，求解的是经过密度加权的Favre-filtered的Navier-Stokes方程。SGS（亚格子尺度）模型也需要适用于可压缩性的。
$$ \bar{\rho} \frac{\partial \tilde{u}_i}{\partial t} + \bar{\rho} \tilde{u}_j \frac{\partial \tilde{u}_i}{\partial x_j} = -\frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j}(\bar{\tau}_{ij} - \bar{\rho}\tau_{ij}^{sgs}) $$
SGS模型可以使用Smagorinsky模型的可压缩扩展或WALE（壁面自适应局部涡粘）模型。此外，在DES（分离涡模拟）中，RANS区域使用带可压缩性修正的SST模型，LES区域则切换为SGS模型。
数值耗散和物理耗散的平衡似乎很重要。网格分辨率有参考标准吗？
壁面附近理想情况是 $y^+ < 1$，但在可压缩流动中，激波附近的网格密度也很重要。不需要激波厚度（数个分子平均自由程）级别的分辨率，但激波前后至少需要确保5~10个网格单元。库朗数的管理也很重要，显式解法必须严格遵守 $\text{CFL} < 1$。
时间推进法
时间积分的方法在可压缩情况下也有特别的吗？
对于需要稳态解的RANS，局部时间步长或隐式LU-SGS法是高效的。对于非定常的LES/DES，双时间步长法或显式Runge-Kutta法（3级或4级）是标准。
$$ \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial \tau} + \frac{3\mathbf{U}^{n+1} - 4\mathbf{U}^n + \mathbf{U}^{n-1}}{2\Delta t} + \mathbf{R}(\mathbf{U}^{n+1}) = 0 $$
这是双时间步长法的公式，$\tau$ 是伪时间，$\mathbf{R}$ 是空间残差。它在保持物理时间二阶精度的同时，在伪时间上隐式收敛。
原来如此，稳态和非定常需要区别使用啊。实现上有什么陷阱吗？
最常见的失败是忘记启用可压缩性修正。例如，Fluent的k-epsilon模型中，“Compressibility Effects”复选框默认是关闭的。在高马赫数混合层计算中忘记勾选，会严重高估扩散率。
Coffee Break 闲谈
Morkovin假说——为什么湍流模型在音速附近会“失效”
1962年，Mark Morkovin提出了一个大胆的假说：“在可压缩湍流中，如果密度脉动很小，应该可以直接使用不可压缩的湍流模型。”这就是Morkovin假说。实际上，在马赫数5以下还算能用，但超过马赫数5，密度脉动就不可忽略，假说就崩溃了。在现场流传着“不知为何只有SST模型收敛了”的经验之谈，但这可能并非模型本质上的优越性，而是因为计算恰好处于Morkovin假说偶然成立的速度域。
迎风格式（Upwind）
一阶迎风：数值耗散大但稳定。二阶迎风：精度提高但有振荡风险。高雷诺数流动中必须使用。
中心差分（Central Differencing）
二阶精度，但佩克莱特数 > 2 时会产生数值振荡。适用于低雷诺数的扩散主导流动。
TVD格式（MUSCL、QUICK等）
通过限制器函数抑制数值振荡同时保持高精度。对捕捉激波或陡峭梯度有效。
有限体积法 vs 有限元法
FVM：自然满足守恒律。CFD的主流。FEM：对复杂形状、多物理场有利。SPH等无网格法也在发展中。
CFL条件（库朗数）
显式解法：CFL ≤ 1 是稳定条件。隐式解法：即使 CFL > 1 也稳定，但影响精度和迭代次数。LES：推荐 CFL ≈ 1。物理含义：一个时间步内信息传播不超过一个网格单元。
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在LES（大涡模拟）中，求解的是经过密度加权的Favre-filtered的Navier-Stokes方程。SGS（亚格子尺度）模型也需要适用于可压缩性的。
SGS模型可以使用Smagorinsky模型的可压缩扩展或WALE（壁面自适应局部涡粘）模型。此外，在DES（分离涡模拟）中，RANS区域使用带可压缩性修正的SST模型，LES区域则切换为SGS模型。
数值耗散和物理耗散的平衡似乎很重要。网格分辨率有参考标准吗？
壁面附近理想情况是 $y^+ < 1$，但在可压缩流动中，激波附近的网格密度也很重要。不需要激波厚度（数个分子平均自由程）级别的分辨率，但激波前后至少需要确保5~10个网格单元。库朗数的管理也很重要，显式解法必须严格遵守 $\text{CFL} < 1$。
时间积分的方法在可压缩情况下也有特别的吗？
对于需要稳态解的RANS，局部时间步长或隐式LU-SGS法是高效的。对于非定常的LES/DES，双时间步长法或显式Runge-Kutta法（3级或4级）是标准。
这是双时间步长法的公式，$\tau$ 是伪时间，$\mathbf{R}$ 是空间残差。它在保持物理时间二阶精度的同时，在伪时间上隐式收敛。
原来如此，稳态和非定常需要区别使用啊。实现上有什么陷阱吗？
最常见的失败是忘记启用可压缩性修正。例如，Fluent的k-epsilon模型中，“Compressibility Effects”复选框默认是关闭的。在高马赫数混合层计算中忘记勾选，会严重高估扩散率。
Morkovin假说——为什么湍流模型在音速附近会“失效”
1962年，Mark Morkovin提出了一个大胆的假说：“在可压缩湍流中，如果密度脉动很小，应该可以直接使用不可压缩的湍流模型。”这就是Morkovin假说。实际上，在马赫数5以下还算能用，但超过马赫数5，密度脉动就不可忽略，假说就崩溃了。在现场流传着“不知为何只有SST模型收敛了”的经验之谈，但这可能并非模型本质上的优越性，而是因为计算恰好处于Morkovin假说偶然成立的速度域。
迎风格式（Upwind）
一阶迎风：数值耗散大但稳定。二阶迎风：精度提高但有振荡风险。高雷诺数流动中必须使用。
中心差分（Central Differencing）
二阶精度，但佩克莱特数 > 2 时会产生数值振荡。适用于低雷诺数的扩散主导流动。
TVD格式（MUSCL、QUICK等）
通过限制器函数抑制数值振荡同时保持高精度。对捕捉激波或陡峭梯度有效。
有限体积法 vs 有限元法
FVM：自然满足守恒律。CFD的主流。FEM：对复杂形状、多物理场有利。SPH等无网格法也在发展中。
CFL条件（库朗数）
显式解法：CFL ≤ 1 是稳定条件。隐式解法：即使 CFL > 1 也稳定，但影响精度和迭代次数。LES：推荐 CFL ≈ 1。物理含义：一个时间步内信息传播不超过一个网格单元。
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