不可压Navier-Stokes方程

这是CFD求解中最基础和最重要的方程。不可压NS方程描述牛顿流体的粘性流动。由连续方程和动量方程组成。

不可压NS方程由以下两个方程组成。

用分量形式（$x$方向）表示会更清楚。

用特征速度 $U$ 和特征长度 $L$ 进行无量纲化，雷诺数作为唯一参数出现。

没错。三维NS方程光滑解的全局存在性和唯一性是Clay数学研究所千禧年奖问题之一（奖金100万美元）。工程上通过DNS（直接数值模拟）可获得有限时间、有限区域的解，但数学上的证明仍未完成。

方程的非线性来自对流项 $(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}$。这一项是产生湍流、混沌和涡破裂等复杂现象的源头。

有限体积法（FVM）是商用CFD的标准。将计算域分割为单元，对每个单元离散化守恒律的积分形式。

对流项的格式选择直接影响精度和稳定性。

数值扩散会人为减衰SGS涡。LES需要保留物理涡，只用SGS模型进行散逸。但中心差分容易产生棋盘式不稳定，所以实用上采用有界中心差分。

非定常计算的时间积分格式比较。

Courant-Friedrichs-Lewy数表示一个时间步内信息跨越多少个网格。

离散化后的线性方程组求解也很关键。

这是标准流程。

整理最常用模型的用法。

推荐用GCI（网格收敛指数）方法。用三个网格密度（粗、中、密）计算关键量，用Richardson外推估计真值。

完全同意。如果基准问题都做不好，实际问题的结果根本不可信。

整理商用和开源的主要求解器。

不可压流用Pressure-Based求解器。

整理不可压的主要求解器。

ESI Group和CFD direct提供付费支持。大学和研究机构的OpenFOAM社区很活跃，信息获取也容易。商业工具相当于为稳定性和支持付费。

介绍几个重要趋势。

DNS直接求解NS方程，不用湍流模型。由于需要解析所有尺度，单元数按 $N \propto Re^{9/4}$ 缩放。

正是。所以RANS和LES的精度改进仍然至关重要。

利用GPU并行性的CFD在快速普及。

PINN是将NS方程嵌入损失函数的神经网络。

超越FVM二阶精度的方法也在进展。

NS方程包含了流体力学的全部内核。随着计算机进步和算法创新，能解决的问题范围在不断拓展。

发散和非物理结果是两大问题。

现象：残差急剧增加，速度或压力变为$10^{20}$等异常值。

对策优先顺序：

现象：出口出现大量"Reversed Flow"（逆流）警告。

现象：压力场呈棋盘式图案振荡。

流动本身可能是非定常的。 卡门涡街（Re > 47时发生）这样的物理非定常流用定常计算会让残差持续振荡。此时应切换到非定常计算。监视量出现周期性振荡就说明应该用非定常求解。

完全同意。CFD调试需要扎实的流体力学基础。