欧拉方程（可压缩）
理论与物理
概述
老师，可压缩欧拉方程是什么？它和不可压缩欧拉方程是两回事吗？
欧拉方程是忽略粘性的流体运动方程，但在可压缩情况下，密度会变化，所以会变成包含能量方程的联立守恒律形式。这就是可压缩CFD的出发点。
守恒型欧拉方程
在一维情况下，可以用守恒变量向量 $\mathbf{U}$ 和通量 $\mathbf{F}$ 这样表示。
其中
原来是三个方程联立啊。分别是质量守恒、动量守恒、能量守恒吗？
没错。在三维情况下，动量方程会有三个分量，所以会变成五元联立方程组。
为了封闭这个方程组，需要状态方程，对于理想气体，使用
对于空气，比热比 $\gamma = 1.4$。
作为双曲型方程的性质
我听说欧拉方程是双曲型的，这是什么意思呢？
这是个重要的概念。一维欧拉方程的雅可比矩阵 $\mathbf{A} = \partial\mathbf{F}/\partial\mathbf{U}$ 的所有特征值都是实数，这是双曲型的条件。特征值是
这里 $a = \sqrt{\gamma p/\rho}$ 是声速。这些被称为特征速度，表示信息传播的速度。
$\lambda_1$ 和 $\lambda_3$ 对应声波的前进波和后退波，$\lambda_2$ 对应熵波（接触不连续面）。在超音速流动（$|u| > a$）中，所有特征值符号相同，因此信息只能单向传播。这直接关系到CFD边界条件的设置。
也就是说，超音速时下游的信息不会传到上游。我终于明白为什么边界条件的设置会随马赫数变化了。
在亚音速入口，压力等信息会向上游传播，因此需要从外部指定一个物理量，其余从内部外推。在超音速入口，所有特征都指向流入方向，因此需要指定所有变量。如果不遵守这个原则，就会产生非物理的反射波。
18世纪天才写下的公式至今仍是CFD的核心
莱昂哈德·欧拉推导出流体运动方程是在1757年。这个假设了无粘性、无热传导的“理想流体”方程，在当时因过于抽象而受到批评。然而270年后，在超音速、高超音速CFD中，这个欧拉方程比受粘性支配的纳维-斯托克斯方程更早被使用。因为在高速流动中，粘性效应与惯性力相比变得极小，欧拉方程能很好地近似现实。这是能感受到跨越时代而延续的公式之力量的瞬间。
各项的物理意义
- 时间项 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：请想象一下拧开水龙头的瞬间。一开始水会不稳定地哗啦哗啦流出，过一会儿就变成稳定的水流了，对吧？描述这个“正在变化的过程中”的就是时间项。心脏搏动导致血流脉动，发动机阀门每次开闭导致流动变化，这些都是非定常现象。那么定常分析是什么？就是只看“经过足够时间流动稳定之后”——也就是将此项设为零。计算成本会大幅下降，因此先用定常求解是CFD的基本策略。
- 对流项 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：把落叶丢进河里会怎样？会被水流带着运往下游，对吧？这就是“对流”——流体的运动搬运物体的效果。暖风的暖气能到达房间的另一端，也是因为空气这个“搬运工”通过对流输送热量。这里有趣的是——这项包含“速度×速度”，因此是非线性的。也就是说，流速变快，这项会急剧增强，变得难以控制。这就是湍流的根本原因。常见的误解：“对流和传导差不多吧？”→ 完全不一样！对流是流动搬运，传导是分子传递。效率有天壤之别。
- 扩散项 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：有过在咖啡里加入牛奶后放置不管的经历吗？即使不搅拌，过一会儿也会自然混合。那就是分子扩散。那么下一个问题——蜂蜜和水，哪个更容易流动？当然是水，对吧？因为蜂蜜的粘性（$\mu$）高，所以不易流动。粘性越大，扩散项越强，流体的运动就变得“粘稠”。雷诺数小的流动（缓慢、粘稠）中扩散占主导。相反，Re数大的流动中，对流占压倒性优势，扩散则成为配角。
- 压力项 $-\nabla p$：按下注射器的活塞，液体就会从针头有力地射出，对吧？为什么呢？因为活塞侧压力高，针头侧压力低——这个压力差成为推动流体的力。水坝放水也是同样的原理。天气图上等压线密集的地方会怎样？没错，会刮强风。“有压力差的地方就会产生流动”——这就是纳维-斯托克斯方程压力项的物理意义。这里的误解点：CFD的“压力”大多指表压而非绝对压力。切换到可压缩分析时结果突然变得奇怪，原因可能就是混淆了绝对压力/表压。
- 源项 $S_\phi$：被加热的空气会上升——为什么呢？因为比周围更轻（密度更低），所以被浮力推上去。这个浮力作为源项添加到方程中。此外，燃气灶的火焰产生化学反应热、工厂的电磁泵对金属熔液施加洛伦兹力……这些都是“从外部向流体注入能量或力”的作用，都用源项表示。忘记源项会怎样？在自然对流分析中忘记加入浮力，流体就完全不动——就像冬天在房间里开了暖气，暖空气却不上浮一样，会得到物理上不可能的结果。
假设条件与适用范围
- 连续介质假设：克努森数 Kn < 0.01（分子平均自由程 ≪ 特征长度）时成立
- 牛顿流体假设：剪切应力与应变速率呈线性关系（非牛顿流体需要粘度模型）
- 不可压缩假设（Ma < 0.3 时）：将密度视为常数处理。马赫数0.3以上需考虑压缩性效应
- Boussinesq近似（自然对流）：仅在浮力项中考虑密度变化，其他项使用恒定密度
- 不适用的情形：稀薄气体（Kn > 0.1）、超音速/高超音速流动（需要捕捉激波）、自由表面流动（需要VOF/Level Set等方法）
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意点·换算备忘 |
|---|---|---|
| 速度 $u$ | m/s | 从入口条件的体积流量换算时，注意截面积的单位 |
| 压力 $p$ | Pa | 区分表压和绝对压力。可压缩分析中使用绝对压力 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | 空气: 约1.225 kg/m³@20°C、水: 约998 kg/m³@20°C |
| 粘性系数 $\mu$ | Pa·s | 注意与运动粘性系数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] 的混淆 |
| 雷诺数 $Re$ | 无量纲 | $Re = \rho u L / \mu$。层流/湍流转换的判定指标 |
| CFL数 | 无量纲 | $CFL = u \Delta t / \Delta x$。直接关系到时间步长的稳定性 |
数值解法与实现
数值解法
要用计算机求解欧拉方程，激波的处理是关键点吧？
没错。欧拉方程的解包含激波、接触不连续面等不连续解。为了在数值上正确捕捉这些，正是可压缩CFD的核心技术。
Godunov方法与黎曼求解器
在Godunov方法中，通过求解单元界面处的局部黎曼问题来求数值通量。
这里 $\mathbf{U}^*$ 是黎曼问题的解，$\mathbf{U}_L, \mathbf{U}_R$ 是单元界面左右的状态。精确黎曼求解器计算成本高，因此广泛使用近似黎曼求解器。
| 求解器 | 特点 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|
| Roe (1981) | 线性化黎曼解 | 接触不连续分辨率高 | 需要熵修正 |
| HLL (1983) | 2波近似 | 鲁棒、实现简单 | 接触不连续会扩散 |
| HLLC (1994) | 3波近似（含接触波） | 也能分辨接触不连续 | 比Roe略扩散 |
| AUSM+ (1996) | 质量通量分离 | 全马赫数对应 | 需要参数调整 |
Roe的黎曼求解器很有名，具体是怎么计算的呢？
Roe通过左右状态计算Roe平均，对雅可比矩阵进行线性化。Roe平均密度定义为 $\hat{\rho} = \sqrt{\rho_L \rho_R}$。数值通量为
第二项是添加数值耗散的迎风项。
高精度化: MUSCL法与限制器
一阶精度的Godunov格式中，激波会跨越数十个单元。高精度化使用MUSCL（守恒律的单调迎风中心格式）法。
这里 $\phi(r)$ 是斜率限制器函数。不使用限制器，激波附近会产生Gibbs振荡。代表性的限制器有 minmod、van Leer、superbee。
限制器的选择会影响结果吗？
影响很大。minmod 最扩散但稳定，superbee 最锐利但倾向于将稀疏波变成阶梯状。实用上 van Leer 或 van Albada 有较好的平衡。WENO（加权本质无振荡）格式具有五阶精度且激波捕捉性能优异，但计算成本高。
时间积分怎么做呢？
显式法的话，TVD Runge-Kutta法（Shu-Osher 3段3阶）是经典。CFL条件是
CFL $\leq 1$ 是稳定条件。隐式法中，LU-SGS（下-上对称高斯-赛德尔）法效率高，可以取较大的CFL数，因此定常计算收敛快。
Godunov法的诞生——1959年苏联诞生的激波数值解法
在数值求解欧拉方程方面具有革命性意义的，是1959年苏联数学家Sergei Godunov提出的“Godunov法”。此前的差分法在激波周围难以抑制数值振荡（吉布斯现象），而Godunov引入了“在每个单元界面求解Riemann问题”的想法。据说原论文中甚至写有Godunov本人“这个一阶精度格式精度不太高”的诚实评论。即便如此，现代HLLC·Roe求解器所沿袭的激波计算谱系，全都建立在这个想法的延长线上。
迎风差分（Upwind）
一阶迎风：数值扩散大但稳定。二阶迎风：精度提高但有振荡风险。高雷诺数流动中必备。
中心差分（Central Differencing）
二阶精度，但Pe数 > 2时会发生数值振荡。适用于低雷诺数的扩散主导流动。
TVD格式（MUSCL、QUICK等）
通过限制器函数抑制数值振荡的同时保持高精度。对捕捉激波或陡峭梯度有效。
有限体积法 vs 有限元法
FVM：自然满足守恒律。CFD的主流。FEM：对复杂形状、多物理场有利。SPH等无网格法也在发展中。
CFL条件（库朗数）
显式法：CFL ≤ 1为稳定条件。隐式法：即使CFL > 1也稳定，但影响精度和迭代次数。LES：推荐CFL ≈ 1。物理意义：在一个时间步长内，信息前进不超过一个单元。
残差监控
连续方程、动量、能量的各项残差下降3~4个数量级可判断为收敛。质量守恒的残差尤其重要。
松弛因子
压力：0.2~0.3、速度：0.5~0.7是一般的初始值。发散时降低松弛因子。收敛后可提高以加速。
非定常计算的内部迭代
在每个时间步长内迭代直至收敛到定常解。内部迭代次数：5~20次为参考值。若残差在时间步长间波动，则需重新审视时间步长。
SIMPLE法的比喻
SIMPLE法是“交替调整”的方法。先假设求出速度（预测步），然后根据该速度修正压力以满足质量守恒（修正步），再用修正后的压力修正速度——重复这个接球游戏以接近正确答案。类似于两人调整架子水平的作业：一人调整高度，另一人调整平衡，如此反复交替。
迎风差分的比喻
迎风差分是“站在河流中重视上游信息”的方法。站在河里的人看下游也无法知道水的来源——这反映了“上游信息决定下游”的物理规律。虽然精度是一阶，但由于能正确捕捉流动方向，稳定性高。
实践指南
实践指南
老师，欧拉方程求解器在实际工作中用在什么地方？忽略粘性还有意义吗？
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