高超音速流动
理论与物理
概述
老师，高超音速流是指马赫数5以上的世界吧？它和普通的超音速有什么不同呢？
决定性的不同在于，激波后的温度可达数千K，导致气体的化学性质发生变化。空气会发生解离和电离，因此理想气体的假设完全失效。对于再入舱或超燃冲压发动机的设计来说，这是无法回避的领域。
温度太高以至于空气分子被破坏了吗？这真可怕…
是的。N₂和O₂会解离成原子，在更高温度下还会电离。因此，需要考虑热化学非平衡的控制方程。
控制方程
具体会出现什么样的方程呢？
首先是垂直激波的基础，Rankine-Hugoniot关系式。对于理想气体，激波前后的压力比为
温度比为
如果M=20左右，温度比大概是多少呢？
按理想气体计算，T₂/T₁会达到数百倍，但实际上解离反应会吸收能量，从而抑制温度上升。这正是真实气体效应。牛顿修正压力系数在高超音速中也很重要，
是钝头物体驻点压力的良好近似。此外，驻点焓
是TPS（热防护系统）设计的起点。在轨道速度马赫数25时，$h_0 \approx 30$ MJ/kg。
30 MJ/kg 真是巨大的能量啊…
热化学非平衡模型
空气解离时，使用什么模型呢？
需要添加5组分（N₂, O₂, NO, N, O）或11组分（包含离子和电子）的化学组分输运方程。每个化学组分 $Y_s$ 的输运方程为
其中 $\dot{\omega}_s$ 是化学反应源项，由阿伦尼乌斯反应速率常数
计算。在Park (1990) 的双温模型中，将平动-转动温度 $T_{tr}$ 和振动-电子温度 $T_{ve}$ 分开处理。
要用两个温度吗！激波后振动温度会延迟上升，是这个意思吧。
没错。振动弛豫时间用Millikan-White相关式估算。这个非平衡区域对激波的脱体距离和壁面热流率有很大影响，因此在CFD中进行适当的建模至关重要。
壁面加热与耐热设计
再入飞行器的表面会被加热到多高的温度呢？
驻点的热流率可以用Fay-Riddell公式估算。
鼻锥半径越大，热流率越低，因此再入体采用钝头形状。阿波罗型返回舱鼻锥的热流率在峰值时可达数MW/m²。
所以再入体才是圆形的啊。如果是尖锐的头部，加热就会集中。
是的。这就是高超音速气动设计的基本思想。也被称为钝体悖论。
航天飞机再入——马赫25的空气会变成等离子体
高超音速流（马赫数5以上）最大的难点在于“空气不再是理想气体”。航天飞机再入大气层时，机体前方的空气被马赫数25量级的激波瞬间加热到6000K以上。在这个温度下，氮分子（N₂）会解离成氮原子，并进一步电离产生等离子体。为了在CFD中准确计算，除了通常的流动方程外，还需要联立求解化学反应方程的“反应气体模型”。在哥伦比亚号事故的热防护分析中，这种化学反应CFD也对查明事故原因起到了重要作用。
各项的物理意义
- 时间项 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：想象一下拧开水龙头的瞬间。最初水流会不稳定地喷溅，过一会儿才会变成稳定的水流，对吧？描述这个“变化过程中”的就是时间项。心脏搏动导致血流脉动，发动机阀门每次开闭引起流动变化，这些都是非定常现象。那么定常分析是什么？就是“只观察经过足够长时间、流动稳定之后的状态”——也就是将此项设为零。由于计算成本大幅降低，先用定常求解是CFD的基本策略。
- 对流项 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：把落叶扔进河里会怎样？会被水流带着往下游漂，对吧？这就是“对流”——流体的运动携带物质的效果。暖风的暖气能到达房间的另一端，也是因为空气这个“搬运工”通过对流输送热量。这里有趣的是——这一项包含“速度×速度”，因此是非线性的。也就是说，流速越快，这一项会急剧增强，变得难以控制。这就是湍流的根本原因。常见的误解：“对流和传导差不多”→ 完全不一样！对流是流动携带，传导是分子传递。效率有天壤之别。
- 扩散项 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：有过在咖啡里倒入牛奶后放置不管的经历吗？即使不搅拌，过一会儿也会自然混合。那就是分子扩散。那么下一个问题——蜂蜜和水，哪个更容易流动？当然是水，对吧？因为蜂蜜的粘性（$\mu$）高，所以不易流动。粘性越大，扩散项越强，流体的运动就变得“粘稠”。雷诺数小的流动（缓慢、粘稠）中扩散占主导。相反，Re数大的流动中，对流占压倒性优势，扩散则成为配角。
- 压力项 $-\nabla p$：按压注射器的活塞，液体就会从针头有力地射出，对吧？为什么呢？因为活塞侧压力高，针头侧压力低——这个压力差成为推动流体的力。水坝放水也是同样的原理。天气图上等压线密集的地方会怎样？没错，会刮强风。“有压力差的地方就会产生流动”——这就是纳维-斯托克斯方程压力项的物理意义。这里的误解点：CFD中的“压力”通常指表压而非绝对压力。切换到可压缩分析时结果突然变得奇怪，原因可能就是混淆了绝对压力/表压。
- 源项 $S_\phi$：被加热的空气会上升——为什么呢？因为比周围空气轻（密度低），被浮力推上去了。这个浮力作为源项添加到方程中。其他例子还有，燃气灶的火焰产生化学反应热，工厂的电磁泵对金属熔液施加洛伦兹力…这些都是“从外部向流体注入能量或力”的作用，都用源项表示。忘记源项会怎样？自然对流分析中如果忘记加入浮力，流体就完全不动——就像冬天在房间里开了暖气，但暖空气却不上升，这种物理上不可能的结果。
假设条件与适用范围
- 连续介质假设：克努森数 Kn < 0.01（分子平均自由程 ≪ 特征长度）时成立
- 牛顿流体假设：剪切应力与应变速率呈线性关系（非牛顿流体需要粘度模型）
- 不可压缩假设（Ma < 0.3 的情况）：将密度视为常数。马赫数0.3以上需考虑可压缩性效应
- Boussinesq近似（自然对流）：仅在浮力项中考虑密度变化，其他项使用恒定密度
- 不适用的情形：稀薄气体（Kn > 0.1）、超音速/高超音速流动（需要激波捕捉）、自由表面流动（需要VOF/Level Set等方法）
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 速度 $u$ | m/s | 由入口条件的体积流量换算时，注意截面积单位 |
| 压力 $p$ | Pa | 区分表压和绝对压力。可压缩分析中使用绝对压力 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | 空气: 约1.225 kg/m³@20°C，水: 约998 kg/m³@20°C |
| 粘性系数 $\mu$ | Pa·s | 注意与运动粘性系数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] 混淆 |
| 雷诺数 $Re$ | 无量纲 | $Re = \rho u L / \mu$。层流/湍流转换的判断指标 |
| CFL数 | 无量纲 | $CFL = u \Delta t / \Delta x$。直接关系到时间步长的稳定性 |
数值解法与实现
数值格式的选择
高超音速流动的CFD，能用普通的可压缩求解器计算吗？
基本的有限体积法（FVM）框架是相同的，但通量计算格式的选择极为重要。为了稳定捕捉强激波，通常将Roe法或AUSM+系列格式与限制器（Van Leer, Barth-Jespersen等）结合使用。
AUSM+是什么的缩写？
Advection Upstream Splitting Method。这是一种将质量通量和压力通量分开评估的方法，可以减少高超音速区域的卡本克尔现象。特别是AUSM+-up格式，在全速度范围内都具有很高的稳定性。
空间离散化与激波捕捉
在网格上如何处理激波是关键，对吧？
没错。在激波捕捉法中，通过数值粘性将不连续面平滑为数个网格单元的宽度。为了提高精度，需要使用MUSCL重构达到二阶精度，同时用TVD（Total Variation Diminishing）限制器抑制振荡。
其中 $\phi(r)$ 是限制器函数。MinMod限制器最扩散但稳定，Superbea限制器陡峭但有超调风险。
高超音速情况下，限制器的选择会很苛刻吗？
非常苛刻。对于M>10的强弓形激波，单独使用Roe法容易发生卡本克尔不稳定。考虑多维效应的H-CUSP法或Rotated Roe格式等方法更有效。
时间积分与显式法的限制
时间积分是用显式法还是隐式法？
如果要求稳态解，隐式法（LU-SGS, DPLR型点隐式等）更高效。因为CFL数可以取到100以上，收敛快。另一方面，如果要追踪非定常现象（如返回舱振动等），则使用二阶精度隐式法（BDF2）或显式法的两段Runge-Kutta。但显式法的CFL限制为
在高超音速下，音速 $a$ 因高温而增大，因此时间步长会变得非常小。
化学反应源的刚性问题
听说包含化学反应的计算很难收敛。
因为化学反应的时标比流体的时标小好几个数量级，导致源项变得“刚性”。为了解决这个问题，需要使用点隐式法隐式处理化学源项的雅可比矩阵，或者用算子分裂法将流体和化学分开求解。NASA的DPLR代码或US3D代码中，点隐式法是标准用法。
DPLR是什么？
Data Parallel Line Relaxation。这是NASA Ames开发的高超音速CFD代码，内置了Park的热化学模型。是再入体分析的行业标准之一。其他著名的还有LAURA（NASA Langley）、US3D（明尼苏达大学）。
商业求解器不支持吗？
Ansys Fluent也支持真实气体和有限速率化学反应，但不如高超音速专用代码经过充分验证。STAR-CCM+也有Reacting Flow模型，但5组分/11组分空气模型的实现有时需要用户自行定制。
高超音速CFD中“网格决定一切”的真正原因
高超音速流动CFD中最苛刻的就是网格设计。激波的厚度在平均自由程（分子间距）尺度，接近连续介质假设的极限。此外，边界层的厚度也比超音速时薄好几个数量级。必须同时解析这些多个薄层。在实际工作中，使用“激波拟合（shock fitting）”技术——将激波位置明确地嵌入网格——可以大幅减少激波后方的数值扩散。结构网格与非结构网格的混合方法正逐渐成为业界的标准。
迎风格式（Upwind）
一阶迎风：数值扩散大但稳定。二阶迎风：精度提高但有振荡风险。高雷诺数流动中必不可少。
中心差分（Central Differencing）
二阶精度，但Pe数 > 2时会产生数值振荡。适用于低雷诺数的扩散主导流动。
TVD格式（MUSCL、QUICK等）
通过限制器函数抑制数值振荡同时保持高精度。对激波或陡峭梯度的捕捉有效。
有限体积法 vs 有限元法
FVM：自然满足守恒律。CFD的主流。FEM：对复杂形状、多物理场有利。SPH等无网格法也在发展中。
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