通道流动直接数值模拟
理论与物理
概述
老师，通道流动的DNS在CFD领域有特殊地位吗？
它是湍流研究最基本的基准。Kim, Moin & Moser (1987) 对 $Re_\tau = 180$ 进行的DNS具有划时代意义，此后成为湍流模型验证的黄金标准。
$Re_\tau$ 是什么？
是摩擦雷诺数，由壁面摩擦速度 $u_\tau$ 和通道半宽 $\delta$ 定义。
这里 $\tau_w$ 是壁面剪切应力。$Re_\tau$ 是表示壁湍流内层尺度与外层尺度之比的无量纲数。
壁面法则
壁面法则也与此相关吗？
湍流通道流动最重要的理论成果就是壁面法则。用内层变量对壁面距离进行无量纲化。
在粘性底层（$y^+ < 5$）是线性关系：
在对数区（$y^+ > 30$）是对数律：
这里 $\kappa \approx 0.41$（冯·卡门常数），$B \approx 5.2$。
DNS数据就是用来验证这个法则的吧。
Moser, Kim & Mansour (1999) 的 $Re_\tau = 590$ 的DNS（通称MKM数据）是高精度确认壁面法则普适性的重要数据集。目前已经达到 $Re_\tau = 5200$（Lee & Moser, 2015）。
主要DNS数据库
| 研究者 | $Re_\tau$ | 网格点数 | 年 |
|---|---|---|---|
| Kim, Moin & Moser | 180 | $192 \times 129 \times 160$ | 1987 |
| Moser, Kim & Mansour | 180, 395, 590 | 最大 $384 \times 257 \times 384$ | 1999 |
| Hoyas & Jimenez | 2003 | $6144 \times 633 \times 4608$ | 2006 |
| Lee & Moser | 5200 | $10240 \times 1536 \times 7680$ | 2015 |
$Re_\tau = 5200$ 用了100亿网格点啊。计算规模真是惊人。
1987年，世界首次湍流DNS花费了“数周”的故事
Kim、Moin和Moser在1987年发表通道流动DNS时，使用当时最高性能的超级计算机计算了数周。雷诺数仅为180（基于摩擦速度），网格点数约400万点。现在的话，用研究室的工作站几天就能完成。这篇论文的划时代意义在于“首次数值可视化湍流的内部结构”，据说当壁面附近的条带结构和流向涡按照理论出现时，全世界的流体研究者都为之兴奋。该论文至今仍保持着每年数千次的引用量。
各项的物理意义
- 时间项 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：想象一下拧开水龙头的瞬间。最初水流会不稳定地喷溅，过一会儿才会变成稳定的水流对吧？描述这个“变化过程中”的就是时间项。心脏搏动导致血流脉动，发动机阀门每次开闭引起流动变化，这些都是非定常现象。那么定常分析是什么？就是只看“经过足够时间流动稳定之后”——也就是将此项设为零。计算成本会大幅下降，因此先用定常求解是CFD的基本策略。
- 对流项 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：把落叶丢进河里会怎样？会被水流带着往下游漂对吧。这就是“对流”——流体运动搬运物质的效果。暖风的暖气能送到房间角落，也是因为空气这个“搬运工”通过对流输送热量。这里有趣的是——这项包含“速度×速度”，因此是非线性的。也就是说，流速变快这项会急剧增强，变得难以控制。这就是湍流的根本原因。常见的误解：“对流和传导差不多”→ 完全不一样！对流是流动搬运，传导是分子传递。效率有天壤之别。
- 扩散项 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：有过在咖啡里倒入牛奶后放置的经历吗？即使不搅拌，过一会儿也会自然混合对吧。那就是分子扩散。那么下一个问题——蜂蜜和水，哪个更容易流动？当然是水对吧。因为蜂蜜的粘性（$\mu$）高，不易流动。粘性越大扩散项越强，流体的运动就变得“粘稠”。雷诺数小的流动（缓慢、粘稠）中扩散占主导。相反，Re数大的流动中对流占压倒性优势，扩散则成为配角。
- 压力项 $-\nabla p$：按下注射器的活塞，液体就会从针头有力地射出对吧？为什么呢？因为活塞侧压力高，针头侧压力低——这个压差产生了推动流体的力。大坝放水也是同样原理。天气图上等压线密集的地方会怎样？没错，会刮强风。“有压差的地方就会产生流动”——这就是纳维-斯托克斯方程压力项的物理意义。这里的误解点：CFD的“压力”多为表压而非绝对压力。切换到可压缩分析时结果突然出错，原因可能就是混淆了绝对压力/表压。
- 源项 $S_\phi$：受热的空气会上升——为什么呢？因为比周围空气轻（密度低），被浮力推上去了。这个浮力作为源项添加到方程中。还有，燃气灶的火焰产生化学反应热、工厂的电磁泵对金属熔液施加洛伦兹力……这些都是“从外部向流体注入能量或力”的作用，都用源项表示。忘记源项会怎样？自然对流分析中忘记加入浮力，流体就完全不动——冬天房间里开了暖气但暖空气不上升，这种物理上不可能的结果就会出现。
假设条件与适用范围
- 连续介质假设：克努森数 Kn < 0.01（分子平均自由程 ≪ 特征长度）时成立
- 牛顿流体假设：剪切应力与应变速率呈线性关系（非牛顿流体需要粘度模型）
- 不可压缩假设（Ma < 0.3时）：将密度视为常数。马赫数0.3以上需考虑可压缩性效应
- Boussinesq近似（自然对流）：仅在浮力项中考虑密度变化，其他项使用恒定密度
- 不适用的情形：稀薄气体（Kn > 0.1）、超音速/高超音速流动（需要激波捕捉）、自由表面流动（需要VOF/Level Set等）
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 速度 $u$ | m/s | 入口条件从体积流量换算时，注意截面积单位 |
| 压力 $p$ | Pa | 区分表压与绝对压力。可压缩分析使用绝对压力 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | 空气: 约1.225 kg/m³@20°C，水: 约998 kg/m³@20°C |
| 粘性系数 $\mu$ | Pa·s | 注意与运动粘性系数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] 混淆 |
| 雷诺数 $Re$ | 无量纲 | $Re = \rho u L / \mu$。层流/湍流转捩的判断指标 |
| CFL数 | 无量纲 | $CFL = u \Delta t / \Delta x$。直接关系到时间步长的稳定性 |
数值解法与实现
DNS方法
DNS是用什么算法求解的？
DNS（直接数值模拟）解析湍流的所有尺度。无模型地直接求解Navier-Stokes方程。通道流动DNS中伪谱法是主流。
伪谱法
流动方向（$x$）和展向（$z$）是周期边界条件，所以用傅里叶级数展开；壁面垂直方向（$y$）用切比雪夫多项式展开。
非线性项（对流项）在物理空间计算，再用FFT转换到波数空间。这就是被称为“伪”谱法的原因。
原来非线性项不是在波数空间直接计算的啊。
在波数空间计算对流项会变成卷积（convolution），计算量变为 $O(N^2)$。在物理空间计算再用FFT则只需 $O(N \log N)$。但会产生混淆（aliasing）误差，所以需要应用3/2法则（去混淆）。
网格分辨率要求
DNS需要Kolmogorov尺度 $\eta$ 以下的网格。通道流动中用内层变量表示。
| 方向 | 推荐分辨率 | 备注 |
|---|---|---|
| 流动方向 $\Delta x^+$ | 5〜10 | 解析条带结构 |
| 展向 $\Delta z^+$ | 3〜5 | 条带结构宽度 $\lambda_z^+ \approx 100$ |
| 壁面垂直 $\Delta y^+_{wall}$ | < 1 | 解析粘性底层 |
| 壁面垂直 $\Delta y^+_{center}$ | 5〜10 | 通道中心 |
时间积分
时间积分怎么做呢？
粘性项用隐式法（Crank-Nicolson），非线性项用显式法（3阶Adams-Bashforth或3级Runge-Kutta）的混合是标准做法。CFL条件由显式法部分决定，典型值为 $\Delta t^+ \approx 0.1$〜$0.5$。
要得到统计量需要积分多长时间？
达到统计定常前的启动时间（wash-out time）需要 $T u_\tau / \delta > 10$ 左右，之后的采样需要 $T u_\tau / \delta > 20$〜$50$。统计量的收敛，阶数越高越慢。
谱法成为“通道DNS标准”的理由
在通道流动DNS中，谱法（傅里叶展开+切比雪夫多项式）被广泛使用，是因为与有限差分法相比，“能以更低的成本达到相同的精度”。要解析湍流的所有尺度需要极高的精度，有限差分法若不极端增加网格点数就跟不上。另一方面，谱法能以“数学上最高效率”求解光滑的周期性流动。当然也有缺点，不适用于复杂形状。因此DNS的基准计算往往集中在通道或管道等简单形状，这反而促进了数据库的充实。
迎风格式（Upwind）
一阶迎风：数值扩散大但稳定。二阶迎风：精度提高但有振荡风险。高雷诺数流动中必备。
中心差分（Central Differencing）
二阶精度，但Pe数 > 2时会产生数值振荡。适用于低雷诺数的扩散主导流动。
TVD格式（MUSCL、QUICK等）
通过限制器函数抑制数值振荡同时保持高精度。对捕捉激波或陡峭梯度有效。
有限体积法 vs 有限元法
FVM：自然满足守恒定律。CFD的主流。FEM：对复杂形状·多物理场有利。SPH等无网格法也在发展中。
CFL条件（库朗数）
显式法：CFL ≤ 1为稳定条件。隐式法：CFL > 1也稳定，但影响精度和迭代次数。LES：推荐 CFL ≈ 1。物理意义：一个时间步内信息前进不超过一个网格。
残差监控
连续性方程·动量·能量的各项残差下降3〜4个数量级可判断为收敛。质量守恒的残差尤其重要。
松弛因子
压力：0.2〜0.3，速度：0.5〜0.7为一般初始值。发散时降低松弛因子。收敛后可提高以加速。
非定常计算的内部迭代
每个时间步内迭代至定常解收敛。内部迭代次数：5〜20次为参考值。残差在时间步间波动时需重新审视时间步长。
SIMPLE法的比喻
SIMPLE法是“交替调整”的方法。先假设求解速度（预测步），然后根据该速度修正压力以满足质量守恒（修正步），再用修正后的压力修正速度——反复进行这种“投接球”以接近正确答案。类似于两人调整架子水平：一人调整高度，另一人调整平衡，如此反复。
迎风格式的比喻
迎风格式是“站在河流中重视上游信息”的方法。站在河里的人看下游也弄不清水的来源——这是反映了“上游信息决定下游”这一物理的离散化方法。精度为一阶，但能正确捕捉流动方向，因此稳定性高。
实践指南
实践指南
如何将DNS数据用于RANS模型的验证？
进行DNS本身是大规模计算，但在实际工作中，利用公开数据来验证RANS或LES的精度非常重要。
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