个数密度函数法（PBM）

PBM（Population Balance Model）是一种追踪气泡、液滴、粒子尺寸分布时空变化的模型。合并（coalescence）、分裂（breakup）、成核（nucleation）、增长（growth）会导致尺寸分布的变化。

气泡塔中的气泡径分布、乳化工艺中的液滴径分布、结晶过程中的晶体尺寸分布、气溶胶粒径变化等，在分散相尺寸分布很重要的问题中使用。通常与Euler-Euler法结合使用。

具有体积 $V$ 的粒子（气泡、液滴）的个数密度 $n(V, \mathbf{x}, t)$ 的输运方程如下。

右边各项表示如下。

我来展示代表性的闭合模型。

Sauter平均径 $d_{32}$ 最常用。

$m_k = \int_0^\infty V^{k/3} n(V) dV$ 是分布的第 $k$ 阶矩。$d_{32}$ 对应于体积-表面积比，适合用于评估物质传递和反应速率。

PBE是以体积（尺寸）为附加独立变量的积分微分方程，直接求解很困难。使用以下离散化手法。

MUSIG将尺寸空间分割为10～30个箱（size group），每个箱的个数密度作为输运方程求解。精度高，但计算成本大，因为要求解与箱数一样多的输运方程。

QMOM（McGraw, 1997）不直接求解尺寸分布，而是求解前几个矩的输运方程（$m_0, m_1, ..., m_5$等）。用Product-Difference Algorithm（PDA）或Wheeler方法确定求积公式的节点和权重，计算合并、分裂的源项。

Ansys Fluent中可用Eulerian Multiphase + Population Balance Model。

STAR-CCM+标准采用S-Gamma模型（Lo, 2000），用2个参数（平均径和分散）追踪分布。计算成本最低，但分布形状受伽玛分布约束。也可使用MUSIG。

OpenFOAM在v2006之后提供了 populationBalanceModel 类。实现了MUSIG（iMUSIG包括）和QMOM。在 constant/phaseProperties 中的 populationBalanceCoeffs 进行配置。

以气泡塔气泡径分布分析为例说明。

1. Euler-Euler设置: 液相（连续相）+ 气相（分散相）

这是inhomogeneous MUSIG的缩写，最初由CFX实现。将尺寸组进一步分为速度组，使大气泡和小气泡有不同的速度场。这对再现Tomiyama升力的符号反转（小气泡朝向壁面，大气泡朝向中心）至关重要。

以下是与实验量的比较标准。

结晶中的成核、结晶成长、凝聚、破裂都会改变尺寸分布。PBM正好是描述这些过程的框架。Fluent的DQMOM可以处理结晶增长速度与尺寸相关的情况。

在化学工程的工艺仿真中，还形成了将PBM结果反馈到Aspen Plus等工艺仿真器进行全厂优化的工作流。

我们来看几个方向。

通过VOF法的DNS直接计算气泡合并、分裂过程，改进合并效率和分裂频率的闭合相关式的研究在推进。Tryggvason等（圣母大学）和Lu & Tryggvason（2013）的Front-Tracking DNS是先驱。

作为2D或多维PBM，有同时追踪尺寸和成分、尺寸和温度、尺寸和形状等多个内部变量的研究。用于医药原料的晶体形状（多晶型）控制和喷雾中液滴温度-尺寸耦合等。但由于维数灾难，计算成本剧增。QMOM或CQMOM作为高效求解法而被研究。

有研究用DNS数据作为教师数据，用神经网络预测合并效率或分裂频率。相对于传统经验相关式，能学习复杂的参数依存性。

除RANS基础的PBM外，与LES结合来直接捕捉大规模结构对尺寸分布的影响的研究在进行。气泡塔的过渡气泡径变化和混合性能的预测精度改善。

确实如此。MUSIG+LES非常沉重，所以S-Gamma或QMOM等低成本手法与LES的结合比较现实。

我们一个一个看。

对策:

对策:

对策:

症状: 负矩或求积公式破裂。

对策: