阻尼 (Damping) — CAE术语解说
阻尼（Damping）是什么
阻尼到底是什么？就是振动逐渐减小吗？
是的，振动系统的能量以热和声的形式散逸，振幅随时间逐渐减小的现象。车辆悬挂系统的减振器就是典型例子，通过障碍物时很快就停止摇晃，就是阻尼的作用。
没有阻尼会怎样？
没有阻尼的话，振动一旦开始就永远不会停止。此外，如果发生共振，理论上振幅会无限增大。实际上会因为材料屈服或破裂而停止，但1940年塔科马海峡大桥因风引发共振而崩塌，就是阻尼不足与共振相结合的著名案例。
粘性阻尼与结构阻尼
粘性阻尼和结构阻尼有什么不同？教科书中两个都出现了，我有点混淆。
粘性阻尼（Viscous Damping）是与速度成正比的阻尼力，就像液压缸的概念。运动方程中写成
其中 $c$ 是阻尼系数，单位是 N·s/m。液压减振器这样通过流体粘性阻力实现阻尼的机制就属于这种。
那结构阻尼是什么机制？
结构阻尼（Structural Damping / Hysteretic Damping）是对材料内部微观塑性变形和晶界滑移导致能量散逸的建模。阻尼力与位移成正比，但相位滞后90度，用复刚度表示：
这里 $\eta$ 称为损失因子（Loss Factor）。结构阻尼的主要特点是与频率无关。钢铁结构的 $\eta$ 约为 0.001～0.01，橡胶可达 0.1～1.0。实际结构物的行为通常比粘性阻尼更接近这个模型。
应该用哪一个？
临界阻尼与阻尼比
临界阻尼是什么状态？书上写"阻尼比 $\zeta = 1$"，我不太理解。
单自由度系的运动方程
特征方程的判别式刚好为零时的阻尼称为临界阻尼。临界阻尼系数是
$$c_{cr} = 2\sqrt{km} = 2m\omega_n$$阻尼比是与其的比值：
$$\zeta = \frac{c}{c_{cr}} = \frac{c}{2m\omega_n}$$$\zeta$ 的值如何改变振动方式？
有三种情况：
- $\zeta < 1$（欠阻尼）：振动衰减。大多数工程结构都是这种。钢结构 $\zeta \approx 0.01$～$0.02$，混凝土 $0.03$～$0.07$ 是常见参考值
- $\zeta = 1$（临界阻尼）：不产生振动，以最快速度回到平衡位置。门闭合装置就设计在这附近
- $\zeta > 1$（过阻尼）：不产生振动，但回复缓慢。在精密测量仪器的减振器中使用，要绝对避免超调时采用
欠阻尼系的自由振动解为
$$x(t) = X e^{-\zeta\omega_n t} \cos(\omega_d t - \phi)$$其中 $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ 是减衰固有振动数。$\zeta$ 较小时 $\omega_d \approx \omega_n$，但超过 0.3 时差异就不能忽视了。
Rayleigh阻尼
CAE动力学解析中经常出现"Rayleigh阻尼"，这是什么阻尼模型？
多自由度系的运动方程是
问题是如何构造阻尼矩阵 $[C]$。Rayleigh阻尼是
$$[C] = \alpha [M] + \beta [K]$$即质量矩阵和刚度矩阵的线性组合。由两个参数 $\alpha$（质量比例项）和 $\beta$（刚度比例项）定义。
$\alpha$ 和 $\beta$ 怎样决定？
第 $i$ 模态的阻尼比为
所以在两个角频率 $\omega_1, \omega_2$ 处分别设定目标阻尼比 $\zeta_1, \zeta_2$，就可以用联立方程求出 $\alpha, \beta$。实务中常见的做法是假设 $\zeta_1 = \zeta_2 = \zeta$（相同阻尼比），得到
$$\alpha = \frac{2\omega_1 \omega_2}{\omega_1 + \omega_2}\zeta, \quad \beta = \frac{2}{\omega_1 + \omega_2}\zeta$$选择 $\omega_1$ 和 $\omega_2$ 有什么诀窍吗？
这是Rayleigh阻尼最重要的地方。在 $\omega_1$ 和 $\omega_2$ 之间的频率带阻尼比会小于目标值（阻尼不足），外侧会大于目标值（过阻尼）。所以必须选择包含对动态响应有贡献的主要频率带。比如地震响应解析，就把1次固有振动数和输入地震波卓越频率包含的范围作为选择范围。$\omega_1$ 选为1次固有振动数的0.5～1倍，$\omega_2$ 选为3～5次固有振动数是实务者常见做法。
模态阻尼比
听说在"模态解析中可以直接为各模态指定阻尼比"，与Rayleigh阻尼有什么区别？
模态阻尼（Modal Damping）是使用模态叠加法时，直接为各模态赋予不同的阻尼比 $\zeta_i$ 的方法。不受Rayleigh阻尼U型频率依存性的限制，可以根据实验数据为各模态精确设定阻尼比。
那全部用模态阻尼不行吗？
如何从实验中求出模态阻尼比？
代表性的方法有三种：
- 半值宽度法：用频率响应函数峰值下降 $-3$ dB的带宽 $\Delta\omega$，$\zeta = \Delta\omega / (2\omega_n)$
- 对数衰减率：从自由振动波形的连续峰值比 $\delta = \ln(x_n / x_{n+1})$，$\zeta = \delta / \sqrt{4\pi^2 + \delta^2}$
- 曲线拟合：将频率响应函数拟合到理论式，进行同定。在多模态接近时有效
汽车车身的各模态 $\zeta$ 约为 0.01～0.05 有很大变化，用单一值不如进行实验同定更有价值。
CAE实务中的阻尼设置
实际CAE中设置阻尼时，没有实验数据的情况下怎么办？
用文献值或规格值是现实的做法。给出典型参考值：
- 钢结构（焊接）：$\zeta = 0.02$～$0.03$
- 钢结构（螺栓连接）：$\zeta = 0.03$～$0.05$（连接部摩擦增加）
- 钢筋混凝土：$\zeta = 0.03$～$0.07$
- 铝合金：$\zeta = 0.002$～$0.01$
- 橡胶·高分子材料：$\zeta = 0.05$～$0.15$
不过螺栓连接部的滑动和非结构构件的影响会使实测值往往大于这些值。拿不准时，用多个阻尼比做参数研究，确认结果的敏感性是好做法。
阻尼设置过大会怎样？
响应会被低估，设计变成危险一方。特别是Rayleigh阻尼中如果 $\omega_2$ 设太低，高次模态会被施加过大阻尼，包含冲击荷载这样高频成分的响应会不当被抑制。反过来，阻尼太小响应会过大是保守一方，但设计不经济。无论如何，阻尼是对解析结果影响很大，但不确定性最大的参数，这个认识很重要。
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