蒙特卡洛方法 (Monte Carlo Method) — CAE术语解说

大体上有三种用法。第一个是不确定性传播（Uncertainty Propagation），当材料物性和荷载条件存在分散时，求输出的统计分布。第二个是可靠性分析，评估破坏概率和安全系数的分布。第三个是放射传热的视角系数计算，通过光线跟踪求解复杂形状的面间辐射。

简单说，就是"不知道答案的积分或期望值，可以用随机抽样的平均值来近似"这个思想。比如求圆的面积，在正方形中随机打点，看圆内的点占多少比例——这个有名的实验就是蒙特卡洛方法的本质。名字的来源是摩纳哥的蒙特卡洛赌场，因为"掷骰子多次"的意象很符合。

简单蒙特卡洛法的收敛速度是 $O(1/\sqrt{N})$，所以要将有效数字增加1位，需要将采样数增加100倍。比如要让标准误差不超过1%，得准备大约 $N = 10{,}000$ 才行。

比如汽车车身结构解析。板厚的制造公差是±0.05mm、杨氏模量的批次间变化是±3%、焊接位置精度±1mm这样。普通的FEM解析只能输入一个代表值，但用蒙特卡洛法把各参数作为概率分布（正态分布或均匀分布）输入，运行数百次FEM。这样就能得到"最大应力的95百分位数"或"刚度的变异系数"这样的结果。

这是实务中最大的瓶颈。解决办法是用应答曲面法（RSM）或克里格法等代理模型，对代理模型应用蒙特卡洛法。原计算只运行数十至数百次来构建代理模型，然后对代理模型进行10万次采样。这样的思路。

不确定性传播想知道的是"输出的统计分布全体"，而可靠性分析关注的是"破坏的概率"这一个数值。定义限界状态函数 $g(\mathbf{x})$，求 $g(\mathbf{x}) \leq 0$ 的概率，即破坏概率 $P_f$。

你想得很周到。简单蒙特卡洛法要以变异系数10%的精度推定 $P_f = 10^{-6}$，需要 $N \approx 10^8$ 次。所以实务上用重点采样（Importance Sampling）这种技术，对破坏区域附近集中采样。或者先用FORM/SORM这样的近似手法找出最危险的点（设计点），然后在其周边用蒙特卡洛法的"子集模拟"。在航空航天或原子能这样 $P_f < 10^{-7}$ 的场景必需的技术。

6σ设计的组合是典型例子。要实现6σ品质（百万个中不良3.4个），必须考虑变化的设计。用蒙特卡洛法求FEM结果的分布，确认在6σ的尾端也不会NG。冲压成型中板厚、摩擦系数、毛坯位置的变化，评估开裂或褶皱发生的概率，这就是典型应用。

完全不同。把辐射能离散化成多条光线（射线），随机跟踪各光线的射出方向、反射、吸收。从面A沿随机方向射出光线，到达面B的光线比例，就是视角系数 $F_{A \to B}$ 的估计值。

人造卫星的热设计是代表例。太空中没有对流，辐射占主导，太阳能电池板和散热器等复杂形状间的视角系数需要精确求解。解析解只存在平行平板、同轴圆盘这样简单的形状，实际卫星形状下蒙特卡洛法是事实上的标准手法。Thermal Desktop之类的航天热解析软件在内部就用这个手法。

好问题。有参与性介质时，光线在介质中进行时按吸收系数 $\kappa$ 的规律随机判断被吸收还是散射。根据比尔定律 $\tau = e^{-\kappa s}$ 对光路长 $s$ 采样。和离散坐标法或P1近似比起来计算成本高，但波长依存性和非灰气体的处理很自然，蒙特卡洛法在这方面很强。

方差降低技术（Variance Reduction Techniques）有好几种。给你介绍实务中常用的。

简单随机会偶然造成采样集中和空白区域。LHS是各变量范围N等分，各层必须各取1点，输入空间才能均匀覆盖。比如FEM不确定性解析只能算50次，LHS的话50个样本也能相当均匀地探索输入空间。Ansys Workbench的"Design of Experiments"或OptiStruct的稳健设计都标配支持。

Sobol序列属于"准蒙特卡洛法"。用的不是随机数，而是提前设计好的低差异序列，空间覆盖效率非常高。LHS需要事先决定样本数N，但Sobol可以随时追加样本还保持均匀性。不过LHS实现更简单，商用软件支持也更多，所以先从LHS开始，不够的话再考虑Sobol比较好。

典型工作流是这样的。首先定义输入变量（板厚、材料常数、荷载等）的概率分布。然后用LHS生成50~200个采样点，分别运行FEM。用得到的输入输出数据，构建克里格法或多项式混沌展开（PCE）的代理模型。最后对这个代理模型进行10万~100万次蒙特卡洛采样，求输出的统计量或破坏概率。代理模型的评估是微秒级，100万次也用秒级完成。

一定要验证代理模型精度。用LOOCV（留一交叉验证）确认 $R^2 > 0.95$，或用追加验证点确认预测误差。代理模型出问题的话，蒙特卡洛法跑再久也是垃圾进垃圾出。最近还有主动学习（自适应采样）技术，自动在模型不确定性大的区域追加样本。