近场动力学
理论与物理
近场动力学是什么
老师，近场动力学是什么？
近场动力学（Peridynamics, PD）是由Silling（2000年，桑迪亚国家实验室）提出的非局部连续介质力学。与传统的FEM（基于微分方程）不同，它使用积分方程描述运动。裂纹的萌生、分叉、合并可以在无网格的情况下自然地表现出来。
基本方程
$H_\mathbf{x}$ 是以点 $\mathbf{x}$ 为中心的球体（近场范围）。$\mathbf{f}$ 是成对力函数。
没有微分！ 不是偏微分方程而是积分方程。
因为没有微分，所以能够自然地处理不连续（裂纹）。键（点之间的连接）伸长超过临界值就会断裂→形成裂纹。裂纹扩展无需网格重新生成。
总结
Silling博士在桑迪亚实验室的发明
近场动力学是桑迪亚国家实验室的Stewart Silling博士于2000年发表的非局部连续介质力学理论。它通过使用积分方程（称为“键”的物质点之间的相互作用）来规避通常的偏微分方程在裂纹处无法定义微分的问题。其开发动机源于核废料玻璃的破碎模拟。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您是否有过急刹车时身体被向前甩出的经历？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重，越难开始运动，一旦开始运动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，这是基于“缓慢施加载荷，加速度可忽略”的假设。对于冲击载荷或振动问题，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉伸弹簧时，您会感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——用相同的力拉伸铁棒和橡皮筋，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“难以拉伸的程度”就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解是：“刚度高 = 强度高”。刚度是“抵抗变形的能力”，强度是“抵抗破坏的能力”，这是两个不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（如重力）和表面力 $f_s$（如压力、接触力）。可以这样理解——桥上卡车的重量是“作用于整个内部体积的力”（体积力），轮胎压路面的力是“仅作用于表面的力”（表面力）。风压、水压、螺栓预紧力……这些都是外力。这里容易犯的错误是：弄错载荷方向。本想施加“拉伸”却变成了“压缩”——听起来像笑话，但在三维空间中坐标系发生旋转时，确实会发生这种情况。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他的弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力和弦的内部摩擦转化成了热能。汽车的减震器也是同样的原理——故意吸收振动能量以提高乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，因此设置适当的阻尼非常重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入为mm时，载荷·弹性模量也需统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中为tonne/mm³（钢为 = 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
近场动力学的实现
与FEM的比较
总结
Bond-based与State-based的区别
近场动力学有Bond-based（BPD）和State-based（SPD）两种类型。BPD计算简单，但泊松比被固定为1/4（2D）或1/3（3D）存在限制。SPD解除了此限制，可以处理任意泊松比，因此在应用于实际材料方面更优。不过SPD的计算成本比BPD高2~3倍，在大规模模型中的并行化实现是一个挑战。
线性单元（一阶单元）
节点间进行线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切锁定（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
二阶单元（带中间节点）
可以表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2~3倍。建议：应力评估很重要的情况。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（锁定）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能模式）风险。根据情况选择合适的方法。
自适应网格
基于误差指标（如ZZ估计量）的自动细化。有效提高应力集中区域的精度。有h法（单元细分）和p法（增加阶次）两种。
牛顿-拉弗森法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二次收敛性，但计算成本高。
修正牛顿-拉弗森法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔几次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度为线性。
收敛判定准则
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）可以越过载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法与迭代法的比喻
直接法是“用笔算精确求解联立方程”的方法——可靠但大规模问题耗时过长。迭代法是“反复猜测逼近正确答案”的方法——最初是粗略的答案，但每次迭代精度都会提高。就像查字典时，从第一页开始顺序查找（直接法）不如先估计大概位置翻开，再前后调整（迭代法）来得高效，原理相同。
网格阶次与精度的关系
一阶单元是“用直尺近似曲线”——用直线折线表现，因此精度有限。二阶单元是“柔性曲线”——可以表现曲线变化，即使网格密度相同，精度也能显著提高。不过，每个单元的计算成本会增加，因此需要根据总体的成本效益来判断。
实践指南
近场动力学的实务
虽然仍处于研究阶段，但在玻璃冲击破坏、岩体破碎、复合材料损伤方面的研究论文正在增加。
实务检查清单
复合材料冲击损伤的近场动力学分析
CFRP的冲击损伤（分层、基体裂纹、纤维断裂的复合）比FEM更能自然地处理多条裂纹扩展，近场动力学在这方面很有优势。NASA马歇尔太空飞行中心自2016年起使用近场动力学分析CFRP发射器面板的高速粒子碰撞损伤，与CT扫描实验的损伤面积一致率达到80%。
分析流程的比喻
分析流程其实和烹饪非常相似。首先采购食材（准备CAD模型），进行预处理（网格生成），开火烹饪（求解器执行），最后装盘（后处理可视化）。这里有个重要的问题——烹饪中最容易失败的工序是哪里？其实是“预处理”。网格质量差的话，无论使用多么优秀的求解器，结果都会一团糟。
初学者容易陷入的陷阱
您确认过网格收敛性吗？是否认为“计算能运行 = 结果正确”？这其实是CAE初学者最容易掉入的陷阱。求解器一定会根据给定的网格返回“一个像样的答案”。但如果网格太粗糙，这个答案就会与现实有很大偏差。至少用三种不同密度的网格确认结果是否稳定——如果忽略这一点，就会陷入“因为是计算机给出的答案，所以应该正确”的危险误区。
边界条件的思考方式
边界条件的设置，与考试的“出题”是一样的。如果题目出错了呢？无论计算多么精确，答案都是错的。“这个面真的是完全固定的吗？”“这个载荷真的是均匀分布的吗？”——正确建模现实的约束条件，其实是整个分析中最重要的步骤。
软件比较
近场动力学的工具
Peridigm：开源近场动力学
Peridigm是桑迪亚国家实验室开发并公开的开源近场动力学代码，支持MPI并行，可进行大规模计算。它使用Trilinos数值计算库，在MPICH/OpenMPI环境下可实现1000核以上的扩展。被NASA、DOE、军方相关机构使用，代码在GitHub上公开（最后更新于2020年代）。
选型时最重要的三个问题
- “要解决什么问题”：所需的物理模型·单元类型是否支持近场动力学。例如，流体方面是否有LES支持，结构方面接触·大变形的支持能力会造成差异。
- “谁来使用”：如果是初学者团队，适合GUI丰富的工具；如果是经验者，则适合脚本驱动的灵活工具。类似于汽车的自动挡（GUI）和手动挡（脚本）的区别。
- “要扩展到什么程度”：考虑到未来的分析规模扩大（HPC支持）、向其他部门扩展、与其他工具的联动，做出这样的选择有助于长期的成本削减。
尖端技术
近场动力学的尖端
近场动力学GPU并行的最前沿
近场动力学有大量的“键”循环，计算
なった
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