平面应变问题
理论与物理
什么是平面应变
在平面应力的章节里提到了“平面应变”，能详细讲解一下吗？
平面应变（plane strain）是一种假设结构厚度方向（$z$ 方向）应变为零的简化：
厚度方向不变形…在什么情况下会这样呢？
是厚度远大于截面尺寸的结构。在结构中部附近，不受端部影响，厚度方向的变形受到约束。
典型例子：
- 大坝的截面 — 厚度（河流方向）非常长
- 隧道的截面 — 轴向具有均匀截面
- 长堤防 — 堤体长度方向均匀
- 轧制辊 — 宽度方向变形均匀
- 地基的滑动面 — 假设厚度方向均匀
平面应力是“薄板”，平面应变是“长柱状体的截面”对吧。
平面应变的本构关系
平面应变的胡克定律和平面应力有什么不同？
平面应变的本构关系（矩阵形式）：
分母里有 $(1-2\nu)$！当 $\nu \to 0.5$ 时刚度会变成无穷大呢。
这是平面应变最重要的特征。对于不可压缩材料（$\nu = 0.5$），体积变化为零，同时要求 $\varepsilon_{zz} = 0$，导致面内变形的自由度受到极端限制。这就是体积锁定的原因。
对于橡胶或几乎不可压缩的材料，平面应变分析会很困难吗？
没错。当 $\nu > 0.49$ 左右时，通常的单元就无法使用了。必须使用杂交单元（将压力作为独立变量）或减缩积分单元。
平面应变的应力
$\varepsilon_{zz} = 0$，但 $\sigma_{zz} \neq 0$ 对吧。
是的。$z$ 方向的应变为零，但由于泊松效应，$z$ 方向会产生应力：
如果 $\sigma_x + \sigma_y$ 是拉应力，那么 $\sigma_{zz}$ 也是拉应力…会产生沿厚度方向的拉伸应力。
这个 $\sigma_{zz}$ 是约束应力，只要平面应变的假设成立，它就会自动产生。用三维分析求解相同问题时，可以确认在结构中部存在这个 $\sigma_{zz}$，而在端部 $\sigma_{zz} \to 0$（接近平面应力）。
土力学中的平面应变
听说在地基工程中平面应变是标准做法。
对于开挖、填土、挡土墙、隧道等具有长度方向均匀截面的地基问题，平面应变实际上是事实上的标准。
但需要注意以下几点：
- 土的本构关系 — Mohr-Coulomb、Cam-Clay 等是在三维应力状态下定义的，但在平面应变中，中间主应力 $\sigma_2 = \sigma_{zz} = \nu(\sigma_1 + \sigma_3)$ 会自动确定。这个 $\sigma_2$ 会影响破坏判断
- 各向异性 — 沉积土在水平方向和垂直方向刚度不同（横观各向同性）。即使在平面应变中也应考虑这种各向异性
Mohr-Coulomb 的破坏准则忽略中间主应力，那么在平面应变中会偏于安全吗？
Mohr-Coulomb 准则忽略中间主应力的影响，因此在平面应变中通常会得到保守（偏安全）的预测。使用考虑中间主应力的 Drucker-Prager 或 Lade 准则，可以得到更现实的强度评估。
总结
我来整理一下平面应变的理论。
要点：
- $\varepsilon_{zz} = 0$ 的假设 — 适用于长柱状结构的截面分析
- $\sigma_{zz} = \nu(\sigma_x + \sigma_y)$ — 厚度方向会产生约束应力
- 分母中包含 $(1-2\nu)$ — 当 $\nu \to 0.5$ 时刚度发散（体积锁定）
- 土力学的标准假设 — 开挖、隧道、填土
- 严禁与平面应力混淆 — 假设完全不同
平面应力和平面应变，看起来相似但物理本质完全不同呢。
是的。两者都归结为二维问题，但“什么为零”是不同的。是应力为零（平面应力），还是应变为零（平面应变）。这个出发点的不同导致了所有的差异。
平面应变理论的形成背景
平面应变假设（εz=γyz=γxz=0）是 Barré de Saint-Venant 在 1856 年的剪切应力分布理论中奠定基础的。它适用于“厚度相对于截面尺寸足够大的结构”，如隧道和长坝，可以将三维问题简化为二维。在地基工程中，它至今仍是挡土墙、填土分析设计标准的主角。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体被向前甩出去的经历吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动就越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，这是“因为缓慢加载所以加速度可以忽略”的假设。对于冲击载荷或振动问题，绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时会感觉到“想要恢复的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——用相同的力拉铁棒和橡皮筋，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长性”就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形”，强度是“不易破坏”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内部上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面上的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力…全都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷的方向。本想“拉伸”却变成了“压缩”——听起来像笑话，但在三维空间中坐标系旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。弹一下吉他的弦试试。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦变成了热。汽车的减震器也是同样的原理——故意吸收振动能量来提高乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃下去。实际上不会这样，所以设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意点·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入 mm 时，载荷·弹性模量也要统一为 MPa/N 系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm 系中为 tonne/mm³（钢为 = 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm 系用 N，m 系也用 N 统一 |
数值解法与实现
基于FEM的平面应变分析
平面应变的FEM单元和平面应力有什么不同？
单元的几何形状和网格是相同的。不同的是本构关系矩阵 $[D]$ 的内容。只需替换平面应力用的 $[D]$ 和平面应变用的 $[D]$。
如果单元形状相同，那设置错误（平面应力/平面应变选择错误）就不容易发现了呢。
这正是最大的陷阱。即使网格、载荷、边界条件完全相同，仅单元类型的一个设置就会改变结果。
各求解器对应的单元名称
| 单元 | Nastran | Abaqus | Ansys |
|---|---|---|---|
| 4节点四边形（平面应变） | CQUAD4 + PLPLANE | CPE4, CPE4R, CPE4H | PLANE182 (KEYOPT3=2) |
| 8节点四边形（平面应变） | CQUAD8 + PLPLANE | CPE8, CPE8R, CPE8RH | PLANE183 (KEYOPT3=相关主题この記事の評価 ご回答ありがとうございます！ 参考に なった もっと 詳しく 誤りを 報告 |