NAFEMS LE1：椭圆膜平面应力基准
问题：外缘受拉的椭圆板
概述
NAFEMS LE1是很有名的基准题，与参考值一致就算验证通过了吗？
只吻合一次是不够的。LE1检验的是用单元逼近曲线几何的能力，以及捕捉集中在内椭圆端部应力的能力。只有看到单元加密时数值逐渐稳定到参考值92.7 MPa，才算验证。我们自己编写一次和二次单元的有限元程序求解，改变网格划分看数值如何变化。
问题定义
平面应力，厚0.1 m，弹性模量210 GPa，泊松比0.3。1/4模型，x = 0边约束x方向，y = 0边约束y方向。外缘施加10 MPa向外压力。目标为内椭圆上D点（x = 2，y = 0）的σyy，参考值92.7 MPa。
自编有限元程序
把内外椭圆按相同角度参数划分，中间用直线连接构成映射网格。分别用4节点一次单元Q4（2×2高斯积分）和8节点二次单元Q8（3×3高斯积分）求解，D点应力直接由与D点相接单元的形函数导数求得。
为什么选LE1
NAFEMS线性弹性基准题整理于1980年代后期，LE1是其中第一题。椭圆孔周围的应力集中对单元表示曲线几何的精度很敏感，只有直边的单元或畸变单元的弱点会清楚地暴露出来。而且由两个椭圆围成的形状简单，任何软件都容易建立相同条件。这种“简单却能显出单元特性”的特点，是它长期被使用的原因。
算例：不同网格下D点应力
| 划分（周向×径向） | Q4（一次） | 误差 | Q8（二次） | 误差 |
|---|---|---|---|---|
| 6 × 3 | 86.09 | −7.13% | 90.21 | −2.69% |
| 12 × 6 | 92.82 | +0.12% | 93.00 | +0.32% |
| 24 × 12 | 94.63 | +2.08% | 93.05 | +0.37% |
| 48 × 24 | 94.36 | +1.79% | 92.81 | +0.12% |
| 96 × 48 | 93.73 | +1.11% | 92.71 | +0.01% |
| 192 × 96 | 93.25 | +0.60% | — | — |
应力单位MPa，误差相对参考值92.7 MPa。自由度：Q4 192×96约3.7万，Q8 96×48约2.8万。
Q4在12×6划分时几乎完全吻合，加密后反而偏离了。
这就是粗网格的“偶然吻合”。Q4用直边逼近弯曲的椭圆，单元内部也只能表示简单的应变分布。粗网格时，几何逼近误差与应力逼近误差方向相反，恰好相互抵消。加密后几何误差先变小，应力误差显露出来，数值升到94.6 MPa，之后才随网格加密缓慢回到参考值。Q8的边可以弯曲，能准确表示几何，从12×6起一直在0.4%以内，96×48时达到0.01%。做基准题重要的不是某一个网格是否吻合，而是展示改变网格时数值的变化。
基准题的做法
- 在NAFEMS指定的粗网格和细网格上都求解。
- 再逐次加倍网格，确认数值单调稳定。
- 记录应力的求法（节点平均、由高斯点外推、在单元角点直接评估）。
- 弯曲几何用边可弯曲的二次单元。
- 把结果与网格、单元类型、自由度一起列表。
“粗网格合格，细网格不合格”
某公司软件内部验证时，只用指定的粗网格求解LE1，与参考值相差1%以内便判为合格。后来另一位负责人用细网格重算，却偏差2%。双方争论哪个正确，改变多级网格调查后发现，粗网格的吻合是误差相互抵消造成的偶然。此后验证时一律用三级以上网格展示数值的变化。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 只用一个网格判断 | 漏掉偶然吻合 | 三级以上确认 |
| 压力方向反了 | σyy符号相反 | 确认向外 |
| 单元方向翻转 | 刚度符号出错 | 确认雅可比行列式符号 |
| 应力评估方法不明 | 无法比较 | 注明方法 |
| 直边单元逼近曲线 | 收敛慢 | 用二次单元 |
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