应变速率相关塑性
理论与物理
应变率相关塑性
老师，屈服应力会随着应变率变化吗？
金属在高速变形时屈服应力会上升。在碰撞（$\dot{\varepsilon} = 10 \sim 1000$ /s）中，屈服应力可达静态屈服应力的1.2至1.5倍。
代表性模型
| 模型 | 公式 | 用途 |
|---|---|---|
| Cowper-Symonds | $\sigma_Y(1+(\dot{\varepsilon}/C)^{1/p})$ | LS-DYNA MAT_24。最常用 |
| Johnson-Cook | $\sigma(1+C\ln\dot{\varepsilon}^*)$ | 高速变形 + 温度效应 |
| Perzyna | $\dot{\varepsilon}^p = \gamma(f/\sigma_0)^n$ | 过应力模型 |
Cowper-Symonds 是最广泛使用的吗？
在汽车碰撞的LS-DYNA MAT_24中，Cowper-Symonds是标准模型。钢材（软钢）的代表性参数：$C = 40$ /s, $p = 5$。
总结
粘塑性基础：Perzyna法则
Piotr Perzyna于1963年在波兰科学院提出了一个粘塑性模型，其中塑性应变率是过应力（当前应力与静态屈服应力之差）的函数。关系式 ε̇ₚ=γ⟨f(σ,κ)/k⟩ⁿ 能够统一处理蠕变和动态塑性。这个"Perzyna粘塑性"成为高速变形分析的理论起点。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即"质量×加速度"。您是否有过急刹车时身体被向前甩出的经历？那种"被带走的感觉"正是惯性力。物体越重，越难启动，启动后也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量"被落下"。静力分析中此项设为零，这是假设"因为缓慢施力，所以加速度可以忽略"。在冲击载荷或振动问题中，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉伸弹簧时，您会感觉到"想要恢复原状的力"吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——用相同的力拉伸铁棒和橡皮筋，哪个伸长更多？当然是橡皮筋。这种"难以伸长的程度"就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解："刚度高 = 强度高"是不对的。刚度是"抵抗变形的能力"，强度是"抵抗破坏的能力"，这是两个不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（如重力）和表面力 $f_s$（如压力、接触力）。可以这样理解——桥上卡车的重量是"作用在整个内部上的力"（体积力），轮胎压路面的力是"只作用在表面上的力"（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力……这些都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想"拉伸"却变成了"压缩"——听起来像笑话，但在三维空间中坐标系发生旋转时，确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他的弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦转化为热能。汽车的减震器也是同样的原理——故意吸收振动能量以提高乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，所以设置适当的阻尼非常重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入为mm时，载荷与弹性模量也需统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm制下为tonne/mm³（钢为 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm制下为N，m制下也为N，需统一 |
数值解法与实现
FEM设置
LS-DYNA MAT_24:
```
*MAT_PIECEWISE_LINEAR_PLASTICITY
$ ..., C, p
, , , , , , 40., 5.
```
```
*RATE DEPENDENT, TYPE=POWER LAW
D, p $ Cowper-Symonds
```
或:
```
*RATE DEPENDENT, TYPE=JOHNSON COOK
C, eps0
```
总结
Cowper-Symonds公式的标定
Cowper-Symonds公式σy=σ₀[1+(ε̇/D)^(1/q)]是应变率相关屈服应力的代表性近似公式。软钢的D=40.4 s⁻¹、q=5是被广泛引用的Jones（1989年）的值。通过分离式霍普金森压杆试验（SHPB）获取10²〜10⁴/s的数据，在双对数图上通过最小二乘回归求得斜率1/q和D^(1/q)是标准流程。
线性单元（一阶单元）
节点间线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切锁定（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
二阶单元（带中间节点）
能够表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2至3倍。推荐：应力评估很重要的情况。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（锁定）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能量模式）风险。根据情况选择合适的方法。
自适应网格
基于误差指标（如ZZ估计量）的自动细化。有效提高应力集中区域的精度。有h法（单元细分）和p法（增加阶次）两种。
牛顿-拉弗森法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二阶收敛性，但计算成本高。
修正牛顿-拉弗森法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔几次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度为线性。
收敛判定准则
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）能够越过载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是"用笔算精确求解联立方程"的方法——可靠但大规模问题耗时过长。迭代法是"通过反复猜测逼近正确答案"的方法——最初是粗略的答案，但每次迭代精度都会提高。就像查字典时，从第一页开始顺序查找（直接法）不如先估计位置翻开，再前后调整（迭代法）来得高效，原理相同。
网格阶次与精度的关系
一阶单元是"用直尺近似曲线"——用直线折线表现，因此精度有限。二阶单元是"柔性曲线"——能够表现曲线变化，即使网格密度相同，精度也显著提高。但是，每个单元的计算成本增加，因此需要根据总体的成本效益来判断。
实践指南
实务检查清单
在爆炸物防护设计中的应用
在IED（简易爆炸装置）防护分析中，装甲钢RHA（轧制均质装甲）的应变率相关性与设计质量直接相关。在LS-DYNA的MAT_024中设置Cowper-Symonds系数，预测爆炸后1ms内的变形行为。基于NATO STANAG 4569不同防护等级的防护性能模拟，自2010年代以来已验证其实用精度。
分析流程的比喻
分析流程其实和烹饪非常相似。首先采购食材（准备CAD模型），进行预处理（网格生成），开火烹饪（求解器执行），最后装盘（后处理可视化）。这里有个重要的问题——烹饪中最容易失败的工序是哪里？其实是"预处理"。网格质量差的话，无论使用多么优秀的求解器，结果都会一团糟。
初学者容易陷入的陷阱
您确认了网格收敛性吗？是否认为"计算能运行 = 结果正确"？这其实是CAE初学者最容易掉入的陷阱。求解器一定会根据给定的网格返回"一个答案"。但如果网格太粗糙，这个答案就会与现实有很大偏差。至少用三个级别的网格密度确认结果是否稳定——如果忽视这一点，就会陷入"因为是计算机给出的答案，所以应该正确"的危险误区。
边界条件的思考方式
边界条件的设置，与考试的"出题"是相同的。如果题目出错了呢？无论计算多么精确，答案都是错的。"这个面真的是完全固定的吗？""这个载荷真的是均匀分布的吗？"——正确建模现实的约束条件，其实是整个分析中最重要的步骤。
软件比较
工具
LS-DYNA的应变率选项
LS-DYNA中材料卡的SR（应变率效应）选项非常丰富。MAT_024的VP（粘塑性标志）=0时使用等效塑性应变率，VP=1时使用体积应变率。MAT_019（STRAIN_RATE_DEPENDENT_PLASTICITY）直接实现了Perzyna法则，用于高精度冲击分析。从2023年的R14版本开始，增加了效果显示诊断功能。
选定时最重要的三个问题
- "要解决什么问题"：所需的物理模型和单元类型是否支持应变率相关塑性。例如，流体分析需要LES支持，结构分析需要接触和大变形支持能力。
- "谁来使用"：如果是初学者团队，适合GUI完善的工具；如果是经验者，则适合脚本驱动的灵活工具。类似于汽车的自动挡（GUI）和手动挡（脚本）的区别。
- "未来扩展到什么程度"：考虑到未来的分析规模扩大（HPC支持）、向其他部门扩展、与其他工具的联动，这样的选择有助于长期的成本降低。
尖端技术
尖端
晶体塑性与应变率
在晶体塑性理论（Crystal Plasticity）中，滑移系
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