多目标优化
多目标优化的理论基础
多目标优化
老师，什么是多目标优化？
同时优化多个目标函数。例如：「质量最小化」和「刚性最大化」。通常这些存在权衡关系（减轻质量会降低刚性）。
帕累托前沿
权衡的最优解集合为帕累托前沿。帕累托前沿上的解是「任何目标函数都无法在不牺牲他人的情况下改进」的最优解。设计者从帕累托前沿中选择偏好的解。
总结
帕累托最优概念源于19世纪经济学家
「帕累托最优性（Pareto optimality）」概念由意大利经济学家维弗雷多·帕累托在1906年《政治经济学手册》中提出。它指资源配置中「改善某人的状况会恶化他人状况」的均衡状态。在多目标优化中应用这一概念的是1963年Kuhn-Tucker的扩展和1985年Schaffer的研究（VEGA方法）。没有帕累托前沿概念就无法讨论汽车轻量化与安全性的同时优化。
多目标优化的数值计算方法
多目标优化的算法
总结
NSGA-II是多目标优化的事实标准算法
NSGA-II（非优越排序遗传算法II）由印度坎普尔印度理工学院的Kalyanmoy Deb于2002年在IEEE Transactions on Evolutionary Computation上发表。在Google Scholar上的被引用数超4万次（2024年时点），在整个计算科学领域也属顶级水平。O(MN²)计算复杂度与密度保存机制的结合优势显著，optDesign和Cadence的AMS仿真工具中也标配该算法。
多目标优化的实务应用
多目标优化的实务
汽车轻量化（质量）+碰撞安全（伤害值）、飞机燃油效率（重量）+强度。
实务检查清单
电动方程式赛车的空气动力学优化是三目标同步优化
电动方程式赛车的空气动力学设计中，「下压力最大化、阻力最小化、尾流均匀化」的三目标同步优化是标准做法。方程式电动车队Mahindra Racing在2019赛季的车辆开发中，采用基于NSGA-III的SIMOPTICALOpenFOAM多目标CFD优化，经历200世代、1000评估点，空气动力学效率相比上赛季改善7%，技术报告中有详细记载。
多目标优化软件比较
工具
modeFRONTIER是欧洲汽车业多目标优化标准
ESTECO公司（意大利特里埃斯特，1999年成立）的modeFRONTIER在欧洲汽车业中几乎是多目标优化工具的事实标准。大众、保时捷、奥迪采用modeFRONTIER作为共同基础设施，开展Nastran、ABAQUS、StarCCM等多代码联合优化。2022年Altair收购HEEDS后竞争加剧，但从欧洲学术界发源的技术深度仍是modeFRONTIER的强项，很多用户这样评价。
多目标优化的前沿研究
多目标优化的前沿
多目标贝叶斯优化使CFD评估成本降低90%
进化算法在多目标优化中表现强劲，但当单次评估（CFD仿真）需时数小时时，数百到数千次评估在现实中是不可行的。采用高斯过程（Gaussian Process）代理模型的多目标贝叶斯优化（MESMO、MOTBO等）将单目标Bayesian最优化扩展到多目标，样本效率大幅改善。Google Brain与JAXA共同研究（2022年发表于Nature Communications）表明，在飞机翼形状多目标优化中，评估次数相比传统进化方法可降至1/10。
多目标优化故障排除
多目标优化的故障
目标函数的量级差异会偏导优化结果
多目标优化中若目标函数的单位、量级差异大（例：质量[kg]与应力[MPa]值相差100倍），加权和法中较小数值的目标会主导，帕累托前沿会偏斜。标准处理方法是将各目标「从理想点（最小值）进行正规化」，转换到0-1的量级。OptiStruct、Isight、modeFRONTIER等多目标优化工具都设有自动缩放选项，但许多用户因未启用该选项而在实务中遭遇优化失败。
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