寸法最適化
理论与物理
尺寸优化
老师，尺寸优化是最简单的优化吗？
是的。以板厚、截面尺寸、材料特性为设计变量进行优化。不改变形状和拓扑。
$$ \min_{t_1, t_2, ...} \quad \text{质量} \quad \text{s.t.} \quad \sigma_{max} \leq \sigma_{allow} $$
总结
老师，尺寸优化是最简单的优化吗？
是的。以板厚、截面尺寸、材料特性为设计变量进行优化。不改变形状和拓扑。
尺寸优化的原型可追溯到米歇尔之前的1800年代
以截面尺寸为设计变量的尺寸优化最古老的案例之一，是Rankine于1858年发表的《Manual of Applied Mechanics》中关于最小重量桁架的解析解法。给定载荷条件和材料强度，通过代数方法求取各构件截面面积最优值的Rankine方法，被视为现代基于线性规划的尺寸优化的原型。1960年代，Dorn、Gomory、Greenberg将其重新公式化为线性规划，成为计算机时代尺寸优化的基础。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体被向前甩出的经历吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，这是“因为缓慢施加力所以加速度可以忽略”的假设。对于冲击载荷或振动问题，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 和 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时能感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——用相同的力拉伸铁棒和橡皮筋，哪个伸长更多？当然是橡皮筋。这种“不易伸长的程度”就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形的程度”，强度是“不易破坏的程度”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内容物上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力…全都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想是“拉伸”却成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系发生旋转时，确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他的弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小对吧。因为振动能量通过空气阻力和弦的内部摩擦转化成了热能。汽车的减震器也是同样原理——特意吸收振动能量来提高乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会那样，所以设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷·弹性模量也需统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢: 约210 GPa，铝: 约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中为tonne/mm³（钢为 = 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
尺寸优化的FEM
Nastran SOL 200:
```
DESVAR, 1, T_FLANGE, 10., 5., 30. $ 设计变量: 法兰厚10mm（5〜30mm）
DVPREL1, 1, PSHELL, 1, T $ 与PSHELL的板厚关联
DRESP1, 1, STRESS, STRESS, , , , MAX
DCONSTR, 1, 1, , 250. $ 应力约束 ≤ 250 MPa
```
总结
KKT条件是非线性尺寸优化的最优性判定基准
非线性尺寸优化的最优性条件由Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件公式化。Karush于1939年的硕士论文（长期未发表），Kuhn & Tucker于1951年在Berkeley学会上独立证明的KKT条件，是带不等式约束优化问题的一阶必要条件。NASTRAN SOL 200使用KKT条件作为收敛判定基准，当所有约束的KKT残差低于阈值（默认0.005）时，判定为最优解。
线性单元（1次单元）
节点间线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切锁定（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
2次单元（带中间节点）
可表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2〜3倍。推荐：应力评估重要时使用。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（锁定）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能量模式）风险。根据情况选择。
自适应网格
基于误差指标（ZZ估计器等）的自动细化。有效提高应力集中部位的精度。有h法（单元分割）和p法（增加阶次）。
牛顿·拉夫逊法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二次收敛性，但计算成本高。
修正牛顿·拉夫逊法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔数次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度为线性。
收敛判定基准
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）可超越载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是“用笔算精确解联立方程”的方法——可靠但大规模问题耗时过长。迭代法是“反复猜测逼近正确答案”的方法——最初是粗略答案，但每次迭代精度提高。就像查字典时，从第一页开始顺序查找（直接法）不如先估计位置翻开，再前后调整（迭代法）来得高效，原理相同。
网格阶次与精度的关系
1次单元是“用直尺近似曲线”——用直线折线表现，精度有限。2次单元是“柔性曲线”——可表现曲线变化，即使相同网格密度，精度也显著提高。但是，每个单元的计算成本增加，因此需要根据总体的成本效益来判断。
实践指南
尺寸优化的实务
飞机蒙皮板厚优化、汽车车架截面优化。
实务检查清单
桥梁桁架截面设计是最经典的尺寸优化
道路桥上部结构I型钢桁架的板厚·翼缘宽度的尺寸优化，是土木设计事务所自1980年代起就通过程序实施的最具历史的应用实例。在许用应力设计法（ASD）时代，满足截面系数约束的最小重量截面可通过解析法求得，但在现代的极限状态设计法（LSD）中，由于加入了屈曲·疲劳等非线性约束，NLP（非线性规划法）成为必需。JSSC（日本钢结构协会）2005年版设计指南修订中，收录了尺寸优化的应用案例作为参考资料。
分析流程的比喻
分析流程其实和烹饪非常相似。首先采购食材（准备CAD模型），进行预处理（网格生成），开火烹饪（求解器执行），最后装盘（后处理可视化）。这里有个重要的问题——烹饪中最容易失败的工序是哪里？其实是“预处理”。网格质量差的话，无论使用多么优秀的求解器，结果都会一团糟。
初学者容易陷入的陷阱
您确认了网格收敛性吗？是不是认为“计算能运行=结果正确”？这其实是CAE初学者最容易掉入的陷阱。求解器一定会根据给定的网格返回“一个像样的答案”。但如果网格太粗，这个答案就会与现实相差甚远。至少用3个级别的网格密度确认结果是否稳定——如果忽略这一点，就会陷入“因为是计算机给出的答案所以肯定正确”这种危险的错觉。
边界条件的思考方式
边界条件的设置，和考试的“出题”是一样的。如果题目出错了呢？无论计算多么精确，答案都是错的吧。“这个面真的是完全固定的吗”“这个载荷真的是均匀分布的吗”——正确建模现实的约束条件，其实是整个分析中最重要的步骤。
软件比较
尺寸优化的工具
NASTRAN SOL200是40多年仍在服役的尺寸优化功能
MSC Nastran的尺寸优化功能“SOL 200（Design Sensitivity and Optimization）”在NASA的资金援助下于1970年代后期开始开发，1982年进行了首次发布。历经40多年的持续改进，2023版已可实现与ML代理模型的耦合以及通过Python脚本定义自定义约束。在波音客机机身框架截面优化、洛克希德·马丁的F-35主翼梁板厚优化等方面，作为航空航天尺寸优化的实际标准而占据统治地位。
选定时最重要的3个问题
- “要解决什么问题”：所需的物理模型·单元类型是否支持尺寸优化。例如，流体方面是否有LES支持，结构方面接触·大变形的支持能力会成为差异点。
- “谁使用”：新手团队适合GUI充实的工具，有经验者适合脚本驱动的灵活工具。类似于汽车的AT车（GUI）和MT车（脚本）的区别。
- “要扩展到什么程度”：着眼于未来的分析规模扩大（HPC支持）、向其他部门推广、与其他工具的联动
なった
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