敏感度分析
敏感度的理论基础
敏感度分析是什么
老师，敏感度分析是什么意思？
定量化设计变量的微小变化对目的函数的影响程度。优化的"方向"决定所需的信息。
敏感度的计算方法
| 方法 | 计算成本 | 精度 |
|---|---|---|
| 有限差分法 | 设计变量数×FEM次数 | 近似（依赖步长） |
| 解析敏感度（直接法） | 1次FEM+额外计算 | 精确 |
| 伴随法（Adjoint） | 1次FEM+1次伴随分析 | 精确。设计变量众多时效率最高 |
伴随法是最高效的吗？
当拓扑优化中的设计变量达到数万个时，伴随法只需一次额外计算即可得到全部变量的敏感度。有限差分法需要进行数万次FEM。
总结
敏感度分析的伴随法（Adjoint法）源于Fox & Kapoor（1968）
结构优化中使用的"伴随法（Adjoint method）"最初由Fox & Kapoor在1968年（AIAA）将其作为振动问题的特征值敏感度进行了定式化。伴随法的革命性在于，无论设计变量数量N_d多少，敏感度计算成本都保持不变（O(1)），即使有数千个设计变量的问题也能高效求得敏感度。这一特性支撑了现代拓扑优化（SIMP法）的实用化，OptiStruct和ABAQUS Topology内部都使用Adjoint敏感度。
敏感度的数值计算方法
敏感度分析的FEM
总结
自动微分（AD）大幅降低了敏感度分析的实现成本
复杂CAE代码的敏感度（梯度）手工推导成本巨大，因此从1990年代开始，"自动微分（Automatic Differentiation, AD）"得以实用化。AD通过解析源代码的运算图，自动应用数值连锁律。前向模式适用于单个设计变量的敏感度计算，反向模式（Backpropagation）适用于一个目的函数对所有变量的敏感度计算。TensorFlow和PyTorch的自动微分引擎与神经网络学习使用相同技术，OPENMDAO（NASA）等CAE优化框架也广泛应用这些技术。
敏感度的实务应用
敏感度分析的实务
作为优化的前置步骤，确认敏感度。确定哪个设计变量对目的函数影响最大。
实务检查清单
用Sobol指标定量确定哪个设计变量重要
敏感度分析的实务中，"确定哪个设计变量对目的函数影响最大"是关键，基于方差的全局敏感度指标"Sobol指标（Sobol' indices）"已成为标准工具。俄罗斯科学院的Ilya Sobol'在1993年提出的这一方法，将各设计变量的贡献率分解为一阶和二阶（交互作用）。丰田在发动机燃油效率优化中实施了10个变量（压缩比、点火正时、喷射量等）的Sobol分析，确认总变异的65%源于压缩比一个变量，从而开展了高效优化。
敏感度的软件比较
工具
OpenMDAO是NASA在2010年代开源发布的
OpenMDAO（Open Multidisciplinary Design, Analysis, and Optimization）是NASA埃姆斯研究中心在2010年代开发并以开源形式发布的MDO（多学科设计、分析与优化）框架。它提供伴随法、自动微分、复数步差分等方法，通过统一的API实现。MIT、Stanford、TUDelft等主要航空航天工程系普遍采用该工具作为设计优化教学工具。波音在2017年AIAA SciTech Forum发表会中披露，737 MAX机翼形状优化中使用了OpenMDAO。
敏感度的前沿研究
敏感度分析的前沿
复数步差分法的精度比有限差分法高1000倍
敏感度计算的数值方法中，有限差分法虽然通用，但随着步长h缩小，舍入误差增大，存在"步长困境"。复数步差分法（Complex Step method）由Joaquim Martins在2003年应用于航空航天设计敏感度计算，随后得以普及。该方法在虚部方向加入微小量ih来计算敏感度，即使在h→0的极限情况下也能消除舍入误差。目前已在SU2（斯坦福大学开发的航空CFD优化工具）中实现标准化，能得到有限差分法无法实现的机器精度敏感度。
敏感度的故障排除
敏感度分析的故障排除
敏感度符号错误导致最速下降法变成最速上升
梯度优化中出现"目的函数不是最小化反而最大化的方向移动"现象，主要原因是敏感度（梯度）符号反向。特别是FEA代码与有限差分接连时，位移和荷载的符号规则不匹配会导致敏感度实际上是反号。诊断方法是通过"梯度验证测试"用少数几个设计变量的敏感度与手算（扰动分析）进行对比，OpenMDAO在开发初期阶段将梯度检查作为标准工作流程要求。
价值
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错误