热膨胀与热应力
理论与物理
热膨胀与热应力
老师，热膨胀产生应力的条件是什么？
若能自由膨胀则应力为零。仅在膨胀受到约束时才会产生热应力：
$\alpha$: 线膨胀系数，$\Delta T$: 温度变化。完全约束的情况。
热应力的产生条件
FEM中的设置
总结
热膨胀系数（CTE）的物理起源
固体的热膨胀源于原子间势能的非对称性（非谐性）。在简谐近似下热膨胀为零，格临爱森常数γ（通常1~3）表示其非对称性的程度。钢（Fe）的CTE≈11×10⁻⁶/°C，铝为23×10⁻⁶/°C，约2倍之差，当钢-铝接合部承受400°C温差时，热应力可达约200MPa（ΔT×ΔCTE×E≈400×12×10⁻⁶×42GPa）。因瓦（Fe-36Ni）合金的CTE≈1×10⁻⁶/°C极低，用于精密仪器的基准规和液化天然气（LNG）储罐结构。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您是否有过急刹车时身体被向前甩出的经历？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，这是“缓慢施力故加速度可忽略”的假设。冲击载荷或振动问题中此项绝不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 和 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时能感觉到“想要恢复的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长”的性质就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形”，强度是“不易破坏”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内容物上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“仅作用在表面的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力…全都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想“拉伸”却成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间坐标系旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。因为振动能量通过空气阻力和弦的内部摩擦转化成了热能。汽车的减震器也是同样原理——特意吸收振动能量来改善乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，所以设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷·弹性模量也需统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢: 约210 GPa，铝: 约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中为tonne/mm³（钢约为 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
热应力的FEM
1. 计算温度场（热传导分析）或直接指定温度
2. 在结构分析中计算热应力 — 温度→热应变→应力
热应变: $\varepsilon_{th} = \alpha(T - T_{ref})$。$T_{ref}$: 无应力温度。
总结
热应力的分析步骤（稳态·非稳态）
热应力分析的标准步骤是①热传导分析（稳态或瞬态）计算温度分布T(x,y,z,t)，②将温度场传递给结构分析求解器（以表格形式输入温度依赖的CTE·弹性模量·屈服应力），③计算各节点的热应变εth＝α(T)×(T−T_ref)并与机械应变分离进行力学分析，共3步。非稳态热应力（瞬态热应力）需要在所有时间步重复，需注意计算成本是稳态的数十至数百倍。Ansys Mechanical 2024 R2中热-结构耦合分析的内存效率已得到改善。
线性单元（一阶单元）
节点间线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切锁定（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
二阶单元（带中间节点）
可表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2~3倍。推荐：应力评估重要时使用。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（锁定）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能模式）风险。根据情况选择。
自适应网格
基于误差指标（ZZ估计量等）的自动细化。有效提高应力集中部位的精度。有h法（单元细分）和p法（增加阶次）。
牛顿·拉夫森法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二次收敛性，但计算成本高。
修正牛顿·拉夫森法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔数次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度为线性。
收敛判定标准
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）可越过载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是“用笔算精确解联立方程”的方法——可靠但大规模问题耗时过长。迭代法是“反复猜测逼近正确答案”的方法——最初是粗略答案，但每次迭代精度都会提高。就像查字典时，从第一页开始按顺序找（直接法）不如先估计位置翻开，再前后调整（迭代法）更高效。
网格阶次与精度的关系
一阶单元是“用直尺近似曲线”——用直线折线表现，精度有限。二阶单元是“柔性曲线”——能表现曲线变化，即使网格密度相同精度也大幅提高。但每个单元的计算成本增加，需根据总体的成本效益来判断。
实践指南
热应力的实务
电子设备的热变形、管道的热膨胀、发动机的气缸体、结构在火灾时的响应。
实务检查清单
固体火箭喷管的热应力管理
固体火箭（例如H3火箭的SRB-3）的喷管喉部由C/C复合材料（碳纤维增强碳）制成，燃烧时可达3000°C。其热膨胀系数在纤维方向为1×10⁻⁶/°C，垂直方向为8×10⁻⁶/°C，具有很强的各向异性，需用三维FEM分析内外温差产生的热应力。在JAXA角田宇宙中心的SRB-3鉴定试验中，已确认分析预测的1200MPa最大主应力与燃烧试验中光纤应变计测量值在±10%以内一致。
分析流程的比喻
分析流程其实和烹饪非常相似。首先采购食材（准备CAD模型），进行预处理（网格生成），开火烹饪（求解器执行），最后装盘（后处理可视化）。这里有个重要问题——烹饪中最容易失败的工序是哪里？其实是“预处理”。网格质量差的话，无论用多优秀的求解器，结果都会一团糟。
初学者容易陷入的陷阱
您确认过网格收敛性吗？是否认为“计算能运行=结果正确”？这其实是CAE初学者最容易掉入的陷阱。求解器一定会对给定的网格返回“一个像样的答案”。但如果网格太粗，这个答案就会与现实严重偏离。至少用3个级别的网格密度确认结果是否稳定——如果忽略这点，就会陷入“因为是计算机给出的答案所以应该正确”的危险想法。
边界条件的思考方式
边界条件的设置，与考试的“出题”是一样的。如果题目错了呢？无论计算多么精确，答案都是错的。“这个面真的完全固定吗？”“这个载荷真的是均匀分布吗？”——正确建模现实的约束条件，其实是整个分析中最重要的步骤。
软件比较
工具
所有FEM求解器都标准支持。没有差别。
热膨胀系数的实现：ECTE vs ICTE问题
热膨胀系数有割线（ECTE：相对于基准温度的平均值）和切线（ICTE：瞬时值）两种，求解器间的混淆会导致重大错误。ABAQUS·ANSYS以ICTE输入为标准，但MSC Nastran的`MAT1`卡片要求ECTE（基准温度20℃）。有论文记载，某航空发动机机匣设计因误用Nastran和ABAQUS的输入格式，导致热应力被最大高估40%的案例。
选定时最重要的3个问题
- “要解什么”：热膨胀和热应力所需的物理模型·单元类型是否支持。例如，流体方面是否有LES支持，结构方面接触·大变形的支持能力会有差异。
- “谁来使用”：新手团队适合GUI充实的工具，有经验者适合脚本驱动的灵活工具。类似于汽车的AT车（GUI）和MT车（脚本）的区别。
- “要扩展到什么程度”：着眼于未来的分析规模扩大（HPC支持）、向其他部门展开、与其他工具的联动进行选择，有助于长期的成本削减。
尖端技术
尖端
CTE的温度依赖性与非线性热应力
大多数金属温度越高CTE越大（源于Dulong-Petit定律）。Ti-6Al-4V在20°C时为8.6×10⁻⁶/°C，600°C时为10.8×10⁻⁶/°C，若假设CTE恒定进行线性计算，应力会被低估5~15%。此外，在屈服后的热-弹塑性分析中还需要温度依赖的加工硬化曲线。Abaqus/Standard中可在材料卡片的*EXPANSION中以表格形式输入温度依赖的CTE，与*PLASTIC卡片组合即可自动应用非线性热应力分析。
故障排除
故障
なった
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