什么是热膨胀失配？

热膨胀系数不同的材料接合后温度变化时，各自想要伸长的量不同，相互牵拉而产生应力或弯曲的现象。大小由热膨胀系数差与温度变化之积（失配应变）决定，铝与钢在100 K时约为0.11%。

薄膜中的热应力怎么计算？

厚基板上的薄膜应变受基板约束，可用 σ = E/(1−ν)·Δα·ΔT 估算。氧化铝基板上的铜膜冷却100 K时约为180 MPa，接近或超过铜的屈服应力，会导致塑性变形或剥离。

焊点应变怎么估算？

设距元件中心距离为L、焊料高度为h，可用 γ ≈ Δα·ΔT·L/h 得到上限估计。陶瓷元件在FR-4基板上−40～125 ℃循环时，距中心1.6 mm、高度0.1 mm约为2.8%；元件越大、焊点越薄就越大。

异种材料的热膨胀失配

分类：耦合分析 | 2026-09-30 改写

CAE visualization for thermal expansion mismatch theory - technical simulation diagram

异种材料热膨胀失配

理论：想伸长量之差变成应力

概述

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车载电路板在温度循环试验后，只有较大的片式元件焊点开裂，小元件没事。为什么？

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这是热膨胀失配。陶瓷元件每K约伸长6.5 ppm，玻璃环氧基板约17 ppm。温度每次升降，基板比元件伸缩得多，这个差值由焊点承受。位移与距元件中心的距离成正比，所以元件越大端部焊点变形越大。疲劳寿命大致与应变的平方相关，元件尺寸的差异就变成了寿命的巨大差异。

失配应变与薄膜应力

$$ \varepsilon_{mis} = \Delta\alpha\,\Delta T, \qquad \sigma_{film} = \frac{E_f}{1-\nu_f}\,\Delta\alpha\,\Delta T $$

$\Delta\alpha$ 为热膨胀系数差，$\Delta T$ 为相对接合时（无应力状态）的温度变化。薄膜附在厚基板上时被迫随基板伸缩，面内两个方向产生应力。$E_f/(1-\nu_f)$ 为双向约束下的等效刚度。

双金属弯曲（Timoshenko）

$$ \kappa = \frac{6\,\Delta\alpha\,\Delta T\,(1+m)^2}{h\left[3(1+m)^2 + (1+mn)\left(m^2 + \dfrac{1}{mn}\right)\right]}, \quad m = \frac{t_1}{t_2},\ n = \frac{E_1}{E_2} $$

把厚度相近的两层贴合，会产生弯曲而不只是应力。$h$ 为总厚度，$t_1, t_2$ 为各层厚度，$E_1, E_2$ 为弹性模量。恒温器的双金属片就是利用这种弯曲。

焊点应变

$$ \gamma \approx \frac{\Delta\alpha\,\Delta T\,L_{DNP}}{h}, \qquad N_f \propto \gamma^{-1/c}\ (c \approx 0.4\text{–}0.5) $$

$L_{DNP}$ 为元件中心（中性点）到焊点的距离，$h$ 为焊料高度。元件和基板的弯曲会释放一部分位移，所以该式是上限估计。疲劳寿命 $N_f$ 大致与应变的二次方左右成反比（Coffin–Manson型关系）。

Coffee Break 随笔闲谈

铁轨与摆钟

最早有意利用热膨胀差的发明之一，是18世纪钟表匠哈里森的“栅形摆”：把铁棒和黄铜棒组合起来，使受热伸长相互抵消，保持摆长不变。这是为制造精确的航海钟而发明的，他还设计了双金属片的雏形。反过来，没能释放热膨胀的例子，如夏季铁轨弯曲事故也广为人知。如何释放或利用材料间的伸长差，至今仍是从电子元件到桥梁的共同课题。

算例

例1：材料组合与失配应变

组合	热膨胀系数差	100 K时失配应变
铝／钢	11 ppm/K	0.11%
铜／氧化铝	10 ppm/K	0.10%
硅／FR-4（面内）	14.4 ppm/K	0.14%
钢／混凝土	2 ppm/K	0.02%

0.1%的应变看似很小，但在钢中相当于约200 MPa的应力。钢筋混凝土之所以可行，是因为钢和混凝土的热膨胀几乎相同。

例2：氧化铝上的铜膜

铜薄膜（E = 120 GPa，ν = 0.34）附在氧化铝基板上冷却100 K时，面内应力约182 MPa。退火铜的屈服应力只有几十MPa，膜会发生塑性变形。反复温度循环会累积塑性应变，导致剥离或开裂——这就是功率模块覆铜陶瓷基板可靠性成为问题的原因。

例3：铝与钢的双金属片

把各0.5 mm厚的铝（70 GPa）和钢（200 GPa）贴合并加热100 K，曲率为1.53 1/m（曲率半径0.65 m），长100 mm的悬臂端部移动约7.7 mm。若弹性模量相同则为1.65 1/m，刚度差的影响只有约7%。

例4：片式元件焊点

距中心距离	焊料高度 0.05 mm	焊料高度 0.10 mm
1.6 mm	5.5%	2.8%
3.2 mm	11.1%	5.5%
6.0 mm	20.8%	10.4%

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元件尺寸加倍，应变也加倍。

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对。若寿命约与应变的−2.3次方成正比，应变加倍寿命就约降到1/5。对陶瓷元件、FR-4基板、−40～125 ℃的条件，该式忽略元件和基板弯曲，是上限估计，但很好地反映了趋势。对策包括避免或拆分大元件、提高焊点高度、使用热膨胀相近的基板、在元件下方填充树脂分担负荷等。用有限元评估实际应变和寿命是之后的详细设计工作。

分析方法

步骤与注意事项

确定无应力温度：焊料取凝固温度附近，粘接取固化温度。以室温为基准会出错。
计入热膨胀系数随温度的变化，树脂超过玻璃化转变温度后热膨胀系数会增大数倍。
焊料随温度和时间发生蠕变，要用非线性材料模型。
接合端部应力集中，是网格越细数值越高的奇异点。不要看数值本身，而是按固定基准比较。

Coffee Break 随笔闲谈

“在室温下组装却翘曲了”

本以为室温组装没问题的电路板，一开始就翘了——原因多在焊接或粘接工序。焊料在200 ℃以上凝固，冷却到室温的过程中热膨胀差起作用，所以到室温时已经经历了近200 K的温度变化。粘接剂也在固化温度下定形。分析中把无应力温度设为室温，就会完全漏掉这种初始翘曲和应力。正确的出发点是工序的温度历程。

常见错误

错误与对策

错误	后果	对策
无应力取室温	漏掉初始翘曲和应力	以接合工序温度为基准
热膨胀系数取常数	树脂Tg以上出错	计入温度依赖
焊料按弹性处理	应变和寿命出错	蠕变模型
直接用端部最大值	数值随网格变化	按固定位置或体积平均比较
大元件与小元件同等对待	高估寿命	按距中心距离评估

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我想自己计算热膨胀和热应力。

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可以用热膨胀计算算热膨胀，用双金属恒温器工具看双金属片，用热应力模拟器算热应力。相关话题整理在双金属片、焊点可靠性、热循环和热残余应力等文章中。