伴有内部发热的稳态传导
伴有内部发热的稳态传导理论基础
内部发热的物理
老师，内部发热在什么样的场景下会出现呢？
电阻产生的焦耳发热、核燃料的衰变热、化学反应热等多种类型。所有类型都用体积发热率 $\dot{q}_v$ [W/m$^3$] 表示。
平板的控制方程
具有均匀内部发热 $\dot{q}_v$ 的平板（厚度 $2L$、两面相同温度 $T_s$）的控制方程为
解为抛物线分布。
中心温度 $T_{\max} = T_s + \dot{q}_v L^2 / (2k)$。
为什么会得到抛物线呢？中心确实是最热的。
重要的是 $T_{\max} \propto L^2$ 这一点。板厚加倍，中心温度上升会增加4倍。薄化是最有效的冷却手段。
圆筒的情况
半径 $R$ 的圆筒（外面温度 $T_s$）的情况
中心温度 $T_{\max} = T_s + \dot{q}_v R^2 / (4k)$。与平板的 $2k$ 相比，圆筒的分母为 $4k$，冷却效率更高。
球的情况
球（半径 $R$）的情况
分母为 $6k$，更大。表面积/体积比越大，冷却效率越高。
| 几何形状 | $T_{\max} - T_s$ | 表面积/体积 |
|---|---|---|
| 平板 | $\dot{q}_v L^2/(2k)$ | $1/L$ |
| 圆筒 | $\dot{q}_v R^2/(4k)$ | $2/R$ |
| 球 | $\dot{q}_v R^2/(6k)$ | $3/R$ |
球的冷却效率最高吗？
在体积相同的条件下，球的表面积最大。不过如果考虑对流条件，情况会更复杂一些。
内部发热的控制方程
内部发热的定常热传导方程为∇²T + q̇/k = 0。从核燃料芯块（q̇≈10⁸ W/m³）到锂离子电池单元（q̇≈10⁵ W/m³），发热密度的范围超过3个数量级。这个方程的重要性从1940年代原子反应堆设计时期急剧上升。
伴有内部发热的稳态传导数值计算方法
FEM中的实现
如何在FEM中设置内部发热呢？
在单元上设置体积发热率。在FEM公式化中，单元热负荷向量上增加
其中 $N_i$ 是形状函数。对于均匀发热，每个节点均匀分配 $\dot{q}_v \cdot V_e / n_{\text{node}}$。
在ANSYS中如何设置？
用BFE（单元体力）命令设置。
```
BFE,ALL,HGEN,,1e6 ! 所有单元 1e6 W/m3
```
在Workbench GUI中，将Internal Heat Generation条件应用到Body。在Abaqus中用*DFLUX, BF$(\dot{q}_v)$设置。
非均匀发热的处理
实际问题中发热率通常在空间上不均匀。
| 例子 | 发热分布 | 建模方法 |
|---|---|---|
| 电阻体 | 均匀（$I^2R/V$） | 常数 |
| 核燃料棒 | 余弦分布（轴向） | 表格/函数输入 |
| 电子电路板 | 局部（仅IC部分） | 按部件分别定义Body |
| 感应加热 | 集中在表皮深度处 | 与电磁解析耦合 |
感应加热需要与电磁解析耦合吗？
是的。用ANSYS Maxwell或COMSOL AC/DC模块计算涡流密度，然后将$\dot{q}_v = J^2/\sigma$（焦耳发热密度）输入热解析。ANSYS在Workbench中通过耦合功能自动化了这个过程。
网格的注意事项
内部发热问题中，如果网格太粗，温度峰值会被平均化。
要精确捕捉中心温度，需要足够的网格密度吗？
对的。在温度梯度最大的区域（边界附近）加密网格。圆筒在中心处温度梯度为零，可以用粗网格，但外面附近要用细网格。
平板内发热的解析解
厚度为2L的平板，均匀发热q̇时，中心温度为Tmax = Ts + q̇L²/(2k)。对于厚度10mm的硅晶圆（k=150 W/m·K），当q̇=10⁶ W/m³时，中心温度上升仅为0.08K，显示了这类材料的高均一性。
伴有内部发热的稳态传导实务应用
应用例：电线的焦耳发热
想看具体的计算例子。
考虑AWG18铜线（直径1.02mm，$\rho_e = 1.7 \times 10^{-8}$ Ωm）通电10A的情况。
| 参数 | 数值 |
|---|---|
| 截面积 $A$ | $8.17 \times 10^{-7}$ m$^2$ |
| 电阻 $R/L$ | 0.0208 Ω/m |
| 发热 $I^2R/L$ | 2.08 W/m |
| $\dot{q}_v$ | $2.55 \times 10^6$ W/m$^3$ |
| $T_{\max} - T_s$ | $\dot{q}_v R^2/(4k) = 0.0016$℃ |
只上升0.0016℃吗？
铜的 $k = 398$ W/(m K) 非常大。温度差主要出现在被覆层和外部对流中，不是在铜内部。也就是说，电线的热设计重点是外面温度，铜内部温度分布几乎均匀。
应用例：核燃料棒
原子反应堆燃料棒（UO$_2$芯块，$k = 3$ W/(m K)，$\dot{q}_v = 4 \times 10^8$ W/m$^3$，半径5mm）的情况
833℃的温度差？数量级完全不同呢。
UO$_2$ 的 $k$ 很低，而 $\dot{q}_v$ 大得多个数量级。燃料中心温度不超过熔点（约2800℃）是安全设计的核心。
验证要点
内部发热问题的验证要确认以下几点。
- 温度分布的形状：均匀发热下应为抛物线分布
- 最高温度的位置：应在对称中心
- 能量平衡：总发热量 $\dot{q}_v \times V$ = 表面散热量
- 与理论解比较：简单几何部分进行校核
能量平衡的检查最可靠呢。
在ANSYS中通过Reaction Summary检查表面的总散热量，与$\dot{q}_v \times V$比较。误差在1%以内就可以认为没问题。
电动车电池包发热解析
特斯拉Model 3的21700型锂离子电池在快速充电时单个电池最多发热5W。4416个电池的电池包在定常状态下进行解析，冷却液流量3 L/min时热点仍超过40°C，需要优化冷却板的布置。
伴有内部发热的稳态传导软件比较
商用工具中的设置
各种工具中内部发热如何设置？
主要工具的设置方法比较。
| 工具 | 设置方法 | 备注 |
|---|---|---|
| ANSYS Mechanical | BFE,elem,HGEN,,value（APDL）或Body > Internal Heat Generation | 支持温度依赖表格 |
| Abaqus | *DFLUX, BF$\dot{q}_v$ | 通过DFLUX + FILM条件定义 |
| COMSOL | Heat Transfer > Heat Source | 支持直接输入空间分布表达式 |
| ANSYS Icepak | Block/Source > Power Dissipation | 直接输入发热量 [W] |
只有Icepak用发热量 [W] 而不是体积发热率吗？
电子设备设计中数据手册通常给出部品的功耗 [W]，直接输入更实用。软件内部会转换为体积发热率。
电磁-热耦合解析
感应加热和变压器发热解析需要电磁-热耦合。
| 工具 | 电磁求解器 | 耦合方法 |
|---|---|---|
| ANSYS | Maxwell 3D | 在Workbench中通过Mapped Data Transfer |
| COMSOL | AC/DC Module | 在同一模型内直接耦合 |
| JMAG | JMAG-Designer | 将发热密度导出到FEM热解析 |
COMSOL能在同一模型内耦合是优势呢。
COMSOL的多物理场耦合功能内置了Electromagnetic Heating节点，自动将焦耳发热密度转换为热源。设置只需一次点击。
APDL实现例
平板内发热验证代码。
```
/PREP7
ET,1,SOLID70
MP,KXX,1,50 ! k=50 W/(mK)
BLOCK,0,0.01,0,0.01,0,0.01 ! 10mm立方
ESIZE,0.001
VMESH,ALL
/SOL
BFE,ALL,HGEN,,1E7 ! 1e7 W/m3
D,NODE(外面),,100 ! 外面100℃
SOLVE
! 理论解: Tmax = 100 + 1e70.005^2/(250) = 102.5℃
```
确认2.5℃的温度上升是否符合理论吧。
与理论值一致就说明设置没问题。
内部发热解析的主要工具
ANSYS Mechanical 2024R支持与焦耳加热仿真耦合，可同时运行电池芯的P2D模型和热解析。Star-CCM+也支持ECM模型的双向热耦合，在电动车开发中广泛应用。
伴有内部发热的稳态传导先端研究
温度依赖的内部发热
如果发热率随温度变化呢？
电阻率随温度变化。金属的情况 $\rho_e(T) = \rho_0(1 + \alpha T)$，焦耳发热 $\dot{q}_v = I^2 \rho_e / A^2$ 也变化。这是正反馈，会导致热失控。
温度升高→发热增加→温度更高...这样的恶性循环吗？
金属的$\alpha$很小（~4×10⁻³ /K），通常不成问题。但陶瓷PTC加热器这类非线性强的材料，稳定性分析很重要。
Frank-Kamenetskii参数
带化学反应热的系统中，采用Arrhenius型发热率
超过Frank-Kamenetskii临界参数 $\delta$ 时，定常解不存在，发生热失控。
平板 $\delta_{cr} = 0.88$、圆筒 $\delta_{cr} = 2.00$、球 $\delta_{cr} = 3.32$。
这是化工厂安全设计用的概念吧。
批处理反应器和炸药自燃温度预测中使用。COMSOL的Chemical Engineering模块支持包含Arrhenius项的热解析。
多尺度发热模型
半导体芯片不能假设全芯片均匀发热。门级发热图（Power Map）必须输入FEM。
门级是纳米级别吧？
芯片整体是厘米级，门是纳米级。直接网格化不可能，多尺度方法必要。ANSYS RedHawk或Cadence Voltus生成功率图，输入ANSYS Icepak分析。
核燃料发热密度解析
轻水反应堆的UO₂燃料芯块平均q̇≈2×10⁸ W/m³，中心温度超过1500°C。1960年代橡树岭国家实验室开发的解析解至今仍是ANSYS Mechanical核工学模块的验证基准。
伴有内部发热的稳态传导故障排除
常见问题和对策
内部发热解析容易出什么问题？
总结一下常见问题。
1. 温度非现实地高
原因：发热率单位错误。W/m$^3$ 和 W/mm$^3$ 混用会相差10⁹倍。
对策：用 $T_{\max} - T_s = \dot{q}_v L^2/(2k)$ 进行手算验证。数值对不上就检查单位。
| 单位体系 | $\dot{q}_v$ 单位 | 注意 |
|---|---|---|
| SI (m) | W/m$^3$ | 标准 |
| mm体系 | mW/mm$^3$ = W/mm$^3$ ×10$^{-3}$ | 转换容易出错 |
2. 能量平衡不符
总发热量和表面散热量不一致的情况吧。
原因：部分面没设边界条件，被当作绝热。或发热Body的体积与预期不同。
对策：确认模型总体积，计算$\dot{q}_v \times V$。在ANSYS中用*GET,V_total,ELEM,,VOLU从数据库获取体积。
3. 温度分布不是抛物线
原因：
- 边界条件不对称
- $k$ 随温度变化
- 网格太粗，抛物线被钝化
$k$ 随温度变化时抛物线会变形吗？
对的。$k(T)$ 为线性时（$k = k_0 + k_1 T$），通过Kirchhoff变换 $U = \int k(T) dT$，$U$ 分布是抛物线，但 $T$ 分布是非线性的。
4. 局部发热温度与实测不符
原因：发热体周围网格太粗，无法充分分辨温度梯度。
对策：在发热体周围应用网格细化。单元尺寸应为发热体尺寸的1/5以下。
局部高发热密度特别需要注意网格敏感性吗？
是的。发热密度越高，网格敏感性越强。半导体芯片解析时有时需要0.01mm以下的网格。
发热密度不均匀分布的陷阱
实际PCB电路板中部件间发热密度相差可达100倍。假设均匀分布的解析会低估最高温度50°C以上。从Cadence Sigrity PowerDC直接导入Icepak的工作流能有效解决问题。
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错误