什么是伴有内热源的瞬态导热？

电流焦耳热、化学反应热、核裂变热等使物体内部发热、温度随时间变化的问题。发热开始后温度持续上升，直到从表面散失的热与发热平衡达到稳态。要求的是稳态温度和达到稳态所需的时间。

多久达到稳态？

表面温度恒定的平板，中心温升在傅里叶数 Fo = αt/L²（L为半厚）为0.29时达到稳态的50%，0.95时90%，1.88时99%。半厚0.2 m、热扩散率7×10⁻⁷ m²/s时，达到90%约需15小时。

大体积混凝土温度会升多高？

水泥水化热使内部升温，越厚越难散热。设绝热温升40 K、发热时间常数1天，中心最高温升厚0.5 m时为8.6 K，1 m为19.4 K，2 m为31.6 K，4 m为38.5 K。内外温差是开裂的原因，厚构件需要温度控制。

伴有内热源的瞬态导热

分类：热分析·瞬态导热 | 2026-10-01 改写

CAE visualization for internal heat gen transient theory - technical simulation diagram

伴有内部发热的非定常热传导

理论：直到发热与散热平衡

概述

🙋

内部发热的零件，只要知道最终温度就够了吗？

🎓

往往不够。达到最终（稳态）温度需要时间，如果负载在此之前停止，就到不了稳态温度。反之，像混凝土这样发热随时间减弱时，会在中途出现最高温度。而且表面的冷却方式（毕渥数）会使稳态温度和时间大幅变化。我们以平板为例，计算接近稳态的速度，以及水化热加热的厚混凝土的最高温度。

控制方程与稳态解

$$ \rho c\frac{\partial T}{\partial t} = k\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \dot q,\qquad \theta_{ss}(0) = \frac{\dot q L^2}{2k}\left(1 + \frac{2}{Bi}\right),\quad Bi = \frac{hL}{k} $$

$L$ 为半厚，$h$ 为表面换热系数。表面温度恒定相当于 $Bi \to \infty$。毕渥数越小，表面本身的温升叠加上去，中心稳态温度越高。

表面温度恒定时的级数解

$$ \frac{\theta(0,t)}{\theta_{ss}(0)} = 1 - \frac{32}{\pi^3}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}\exp\!\left[-\frac{(2n+1)^2\pi^2}{4}Fo\right],\qquad Fo = \frac{\alpha t}{L^2} $$

Coffee Break 随笔闲谈

给大坝混凝土降温

1930年代美国胡佛水坝建设中，大量混凝土的水化热成了大问题。据估算，若任其凝固，内部完全冷却需要一百多年，其间收缩会开裂。于是在混凝土中埋入冷却钢管通冷水散热，并分块浇筑。这是发热与导热计算决定巨型结构施工方法的例子。如今大体积混凝土仍用同样思路防止温度裂缝。

算例

例1：接近稳态的速度（表面温度恒定）

相对稳态比例	傅里叶数	半厚0.2 m·α 7×10⁻⁷ m²/s
50%	0.294	4.7 小时
90%	0.946	15.0 小时
99%	1.879	29.8 小时

差分法（200等分）求解达到90%时Fo = 0.947，与级数解一致。

例2：表面冷却方式的影响

毕渥数	稳态中心温升（表面温度恒定时的倍数）	达到90%的傅里叶数
∞（表面温度恒定）	1.0	0.95
10	1.2	1.14
1	3.0	3.12
0.1	21	23.8

例3：大体积混凝土的水化热

绝热温升40 K，发热按1天时间常数指数衰减，热扩散率1.0×10⁻⁶ m²/s，两面保持浇筑时温度。

厚度	中心最高温升	达到最高的时刻
0.5 m	8.6 K	0.5 天
1 m	19.4 K	1.1 天
2 m	31.6 K	2.2 天
4 m	38.5 K	4.1 天

🙋

厚4 m时几乎与绝热状态的40 K没有差别。

🎓

热量逃到表面所需时间以半厚平方除以热扩散率为参考，厚4 m时约46天。发热几天内就结束，其间几乎不散热，接近绝热状态升温。厚0.5 m时同样时间约0.7天，热量与发热同时散出，温升只有8.6 K。厚构件中心升高近40 K，表面却被外界空气冷却，内外温差使表面受拉，容易开裂。所以要埋冷却管、使用低热水泥或分层浇筑。

分析要点

先用L²/α把握时间尺度，与负载时间比较。
用毕渥数考虑表面条件，毕渥数小时稳态温度和时间都大幅变化。
发热随时间或温度变化时要输入相应函数（水化热、电池发热等）。
同时评估最高温度和内外温差。
先用有解析解的问题确认代码，再求解实际形状。

Coffee Break 随笔闲谈

“短时间超额定也没事”

电线和电机绕组短时间通过超过额定的电流往往不会烧坏，因为即使发热增加，温度接近稳态也需要时间。电线的短时允许电流正是用这种瞬态计算确定的。反之，冷却差的地方（毕渥数小）稳态温度更高，达到也更慢，试验时间短就会误判最终温度。温度试验时间原则上要取时间常数的数倍以上。

常见错误

错误与对策

错误	后果	对策
只评估稳态	高估短时负载	按瞬态求解
试验时间短	低估最终温度	取时间常数数倍
假设表面温度恒定	温度估低	按毕渥数判断
发热设为常数	最高温度算错	考虑随时间变化
不看内外温差	漏掉开裂	也评估热应力

🙋

我想了解相关内容。

🎓

可以用瞬态导热工具试算。相关页面参考集总参数法、海斯勒图、周期性加热和半无限大固体。