一维定常热传导
一维定常热传导的理论基础
一维定常热传导的基础
老师，一维定常热传导实际上在什么场景下使用呢？
对于平板、圆筒、球壳这样仅在一个方向有温度梯度的问题适用。墙体断热评估、配管保温材料设计、电线容许电流计算等都是典型例子。
支配方程
一维定常、内部发热存在的支配方程如下。
若$k$为常数且无发热，则$\frac{d^2T}{dx^2} = 0$，温度呈线性分布。
有均匀发热的话会怎样呢？
两面温度固定 $T(0)=T_1$, $T(L)=T_2$，$\dot{q}_v$为均匀的话
二次曲线会叠加上去。最高温度不一定在中央，当$T_1 \neq T_2$时会偏移。
热阻抗的概念
在一维热传导中，电气回路的类比非常有效。平板的热阻抗为
对流的热阻抗为$R_{conv} = \frac{1}{hA}$。将其串联或并联连接，可以估算整体的温度降。
这正好是欧姆定律呢。$\Delta T = qR$对应于V=IR。
完全正确。这种热阻抗网络的思想，也成为了FloTHERM的紧凑热模型和JEDEC的DELPHI模型的基础。
Fourier的热方程，狱中着想
Joseph Fourier（1768–1830）从1798年埃及远征归国后，监禁期间仍继续研究。1822年发表的《热的解析理论》完成了一维热传导方程，但皇家学院以"严密性不足"为由连续12年驳回初稿（1807年）。
一维定常热传导的数值计算手法
有限差分法离散化
一维的话好像能用手工计算解出来，为什么还要用数值方法呢？
当热导率随温度变化$k(T)$或存在非均匀发热时，无法得到解析解。用有限差分法在等距网格上离散化就可以
这里$k_{i+1/2}$用调和平均来评估界面热导率。$k_{i+1/2} = \frac{2k_i k_{i+1}}{k_i + k_{i+1}}$
为什么要用调和平均呢？
为了在异种材料界面保持热流密的连续性。用算术平均的话，界面处热流密可能不连续。这在CFD求解器中也采用相同的处理方式。
FEM的一维分析
一维FEM中使用2节点线性单元。单元热传导矩阵为
与结构的弹簧单元完全形式相同。对流边界通过在右端添加项$hA\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}$处理。
一维的话用Excel也能实现吧。
完全可以。用Excel实现10单元左右的规模对于教学非常有效，能深刻理解FEM的本质。实务中当然要用通用求解器，但自己手中有个验证用的自制工具会非常有用。
有限差分法的起源是Richardson
Lewis Fry Richardson（1910年）用差分近似流体方程的手法，是一维热传导数值解法的原型。第一次世界大战期间，他在天气预报中使用差分网格，动员了64人的"人类计算机"进行壮观的实验。他首次将计算精度的概念引入数值热力学。
一维定常热传导的实务应用
设计计算的应用
一维模型实务中也真的使用吗？有三维啊。
在概念设计阶段，一维模型的效率压倒性地高。墙体断热厚度的确定、配管保温材料的选择、电线尺寸的确定，用一维计算就能得到充分的精度。
实务例：配管保温材料的设计
外径50mm的蒸汽配管（150℃）缠绕玻璃纤维保温材料（$k=0.04$ W/(m K)），外气25℃，外表面传热系数$h=10$ W/(m2K)的情况下
保温厚50mm的话，$r_i=25$mm，$r_o=75$mm，单位长度热损失约20 W/m。
这个手工计算10秒就能出来啊。用不着跑三维仿真。
完全同意。但配管弯头、分支部、法兰部会有二维三维效应，所以整体热损失用一维、局部温度评估用三维，要这样分别使用。
结果的验证
用一维理论解验证三维分析结果非常有效。
| 验证项目 | 一维理论值 | 三维分析值 | 判定基准 |
|---|---|---|---|
| 最高温度 | 由理论式算出 | 求解器输出 | 差在5%以内 |
| 热流量 | $q=kA\Delta T/L$ | 面积分 | 差在2%以内 |
| 温度梯度 | $dT/dx = -q/(kA)$ | 路径图 | 分布一致 |
掌握一维就能立刻验证三维结果呢。
光是确认"数量级是否匹配"，就能防止80%的设计失误。这就是一维模型最大的价值。
炉墙设计的黄金法则
制铁高炉的炉墙经常用一维定常近似来设计。新日铁住金（现日本制铁）的高炉采用耐火砖→断热浇铸件→铁皮的三层构成，为了维持内侧1600℃、外侧60℃，需要优化λ和厚度。炉墙单位面积热损失的低减与年度能源成本直接相关。
一维定常热传导的软件比较
工具别的处理
请教一下各个软件如何做一维热传导。
我们来比较通用FEM求解器的实现方法。
| 工具 | 单元类型 | 设置要点 |
|---|---|---|
| Ansys Mechanical | LINK33（2节点热传导杆）、SOLID70的一维使用 | 用REAL定义断面积 |
| Abaqus | DC1D2（2节点线性）、DC1D3（3节点二次） | 用*SOLID SECTION指定断面积 |
| COMSOL | Heat Transfer in Solids → 1D component | 在几何上创建一维线 |
电子设备的热阻抗网络用别的工具吗？
采用回路模拟器的方法的话，FloTHERM的SmartPart、Ansys Icepak的网络模型，或者6SigmaET的简化模型比较合适。这些内部上都是用R-C网络（定常时只有R）排列一维热阻抗。
JEDEC标准的关联
IC部件的热特性由JEDEC JESD51系列规定。$\theta_{JA}$（结温-环境间热阻）和$\Psi_{JT}$（结温-包壳顶部间）本质上都是一维热阻抗模型。
数据手册上写的$\theta_{JA}$原来是这个意思啊。
但是$\theta_{JA}$依赖于测定条件（JEDEC标准基板、自然对流），与实际基板的实装条件不同。所以实设计必须用三维仿真。一维模型只能定位为初期估算。
MATLAB的pdepe函数的诞生
MathWorks在MATLAB 5.2（1997年）中搭载了pdepe函数，使得一维抛物型、椭圆型PDE能用数行代码求解。此前用户必须手工实现Crank-Nicolson法，边界条件的编码错误导致的漏洞横行。pdepe的出现大幅降低了一维热传导教学的门槛。
一维定常热传导的先端研究
非线性一维问题
一维也有先端课题吗？
温度依存热导率的Kirchhoff变换是重要的技巧。变量变换
经过该变换，非线性方程转化为线性的Laplace方程$\frac{d^2\theta}{dx^2}=0$。
非线性问题变成线性的，好厉害呢。
在半导体器件热设计中特别有效。当硅的热导率如$k(T) = k_0(T/T_0)^{-1.3}$那样具有强烈的温度依存性时。
功能梯度材料（FGM）
热导率在空间上连续变化的FGM，也可以用一维得到基础知见。
假设这样的指数分布可以得到解析解，成为TBC涂层最优化的指导。
逆问题：热导率的同定
从温度测定数据反推热导率，一维也能做吗？
可以的。有两点温度测定值和热流密测定值的话，就能直接算出$k = qL/(A\Delta T)$。温度依存k的同定需要多温度点测定和最优化算法（Levenberg-Marquardt法）结合。
COMSOL的Optimization Module可以用实测温度的差作为目的函数，自动同定$k(T)$的参数。一维问题计算量轻，所以迭代最优化也能高速运行。
薄膜的量子热传导
当膜厚低于声子平均自由程（Si在室温约300 nm）时，古典Fourier定律失效。David Cahill等人在2001年发表的时间域热反射率（TDTR）法，确立了测定10 nm以下薄膜声子输运的手法，给纳米电子学热设计带来了革命。
一维定常热传导的故障对应
常见问题
一维好像问题不会太多，但还是有踩坑的地方吗？
一维特有的陷阱是有的。
1. 坐标系选择错误
在圆筒坐标系的一维问题中，错误地使用直角坐标的式子，这样的失误很多。在圆筒坐标中
忽略$r$项的话温度分布完全改变。平板中是线性分布，但圆筒中是对数分布$T(r) = C_1 \ln r + C_2$。
球坐标中也需要类似的注意吗？
是的。在球坐标中$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(kr^2\frac{dT}{dr})=0$，解为$T(r) = C_1/r + C_2$。坐标系搞错的话，温度降的估算会大幅偏离。
2. 复合壁的界面温度
在复合壁中手工计算界面温度时，各层热阻的分配算错的情况很多。
先求出全体的$q$，然后依次计算各界面温度，遵守这个步骤就难出错。
3. 与三维模型的偏差
一维估算和三维结果偏差大时，该怀疑什么呢？
要检查以下几点。
| 偏差因素 | 检查方法 |
|---|---|
| 二维三维展开效应 | 估算热扩散的贡献 |
| 接触热阻 | 确认界面的间隙导率 |
| 辐射的影响 | 高温部辐射不可忽视 |
| 对流系数的估算 | 一维假设的h与三维流场可能有差异 |
热扩散效应特别容易遗漏。小热源热从广平板展开的情况，一维模型无法捕捉的二维三维效应会使实际温度上升低于一维估算。用Song-Lee-Au的扩散阻的近似式补正比较好。
热电偶位置偏差产生误差
一维定常解析的验证实验中，热电偶先端从壁面偏离0.5 mm就会导致测定值改变3～8℃。NEL的不确定度评估指南（NPL Measurement Note）中，热电偶接点的位置决定误差被列为系统误差的主要原因，与实验对比必须详细记录安装精度。
价值
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错误