为什么带电粒子在磁场中会做圆周运动？

磁场中的带电粒子受洛伦兹力 F=qv×B 作用。这个力始终垂直于速度方向，因此不做功，速度大小不变。相反，它不断改变运动方向，导致圆周运动（回旋运动）。半径由拉莫尔半径 rL=mv⊥/(|q|B) 给出。

什么是E×B漂移？

当电场 E 和磁场 B 垂直交叉时，带电粒子无论其符号如何都会沿一个固定方向漂移。漂移速度由 vd = (E×B)/B² 给出，与粒子的电荷和质量无关。这在等离子体约束和电离层动力学中起着重要作用。

什么是Boris积分法？为什么要使用它？

Boris积分法是等离子体物理中常用的带电粒子追踪算法。由三个阶段组成：半步电场加速→磁场旋转→半步电场加速。具有时间可逆和面积守恒（辛）特性，长时间积分时能量误差不易累积。

如何计算回旋周期？

回旋角频率为 ωc = |q|B/m，周期为 Tc = 2π/ωc = 2πm/(|q|B)。值得注意的是，周期与粒子速度无关，仅由质量、电荷和磁场决定。这是回旋加速器工作原理的基础。

带电粒子在电磁场中的运动模拟器 — 免费在线计算器

参数设置

电场 Eₓ

V/m

电场 Eᵧ

V/m

磁场 Bz

粒子选择

电子 (e⁻) q=−1, m=1 质子 (p⁺) q=+1, m=1 α粒子 q=+2, m=4 自定义

初速度 v₀

初速角度 θ₀

轨迹长度

以90°间隔同时显示4个粒子

暂停时按一帧或更改速度

在画布上拖动可直接设置初速的方向和大小

计算结果

—

当前速度 |v|

—

拉莫尔半径 r_L

—

E×B漂移 v_d

—

回旋周期 T_c

0 deg

初始角度

-1.00

q/m

粒子数

—

轨迹长度 (pt)

带电粒子电磁场中的运动 — 当前计算值
物理量	值	单位
当前速度 \|v\|	—	m/s
拉莫尔半径 rL	—	m
E×B漂移速度	—	m/s
回旋周期 Tc	—	s

理论·主要公式

洛伦兹力：$\mathbf{F}= q(\mathbf{E}+ \mathbf{v}\times \mathbf{B})$

二维（Bz垂直）加速度：

$$a_x = \frac{q}{m}(E_x + v_y B_z), \quad a_y = \frac{q}{m}(E_y - v_x B_z)$$

拉莫尔半径：$r_L = \dfrac{mv_\perp}{|q|B}$

E×B漂移速度：$v_d = \dfrac{|\mathbf{E}\times \mathbf{B}|}{B^2}= \dfrac{E_\perp}{B}$

回旋周期：$T_c = \dfrac{2\pi m}{|q|B}$

数值积分：Boris积分法，$\Delta t = 0.02$

带电粒子在电磁场中的运动

🙋

在这个模拟器中，只施加磁场时，粒子为什么会旋转？

🎓

简单来说，磁场对粒子施加了"不断改变运动方向的力"。这个力称为洛伦兹力，公式是 $\mathbf{F}= q \mathbf{v}\times \mathbf{B}$。由于力始终垂直于速度，所以不做功，速度大小不变，但方向不断改变，导致圆周运动。实际上，试试调整上面的"磁场 Bz"滑块。增大磁场时，圆会变小。

🙋

原来如此！那么，当同时施加"电场 Eₓ"时，轨道逐渐向侧面流动，这是什么？

🎓

这就是"E×B漂移"现象。当电场和磁场垂直时，粒子的圆周运动中心本身会沿一个固定方向移动。有趣的是，这个漂移速度 $v_d = (E \times B)/B^2$ 与粒子类型（电子还是质子）无关。试试更改"粒子选择"，同时打开电场和磁场。你会看到所有粒子向同一方向漂移。

🙋

很有趣！但是，计算机如何计算这种复杂的运动呢？

🎓

这里使用了"Boris积分法"，一个聪明的算法。它将电场加速和磁场旋转分为半步计算，这样可以获得能量守恒的稳定计算。实际上，这种方法对等离子体粒子的长时间追踪是必不可少的。即使参数设置成极端值，轨道也不会发散，这就是这种方法的优点。

常见问题

可能是初速度过大或磁场过弱。降低初速度或增大磁场B值会使拉莫尔半径减小，轨道更容易停留在屏幕内。也可以尝试将电场E设为零来确认。

将电场设为x方向，磁场设为z方向（屏幕深度方向），初速度设为适当值（如vx=0, vy=0）。粒子会边做回旋运动边缓慢向E×B方向（此处为y方向）漂移。

拉莫尔半径公式 r_L = mv⊥/(|q|B) 中的v⊥是垂直于磁场的速度分量。若初速度含有磁场方向分量，则v⊥会小于总速度。此外，电场存在时轨道会变复杂。先将电场设为零验证。

可以，可以直观理解磁场中的螺旋运动和镜面效应基础。但本模拟器是二维单粒子追踪（磁场固定沿z方向），不包含多粒子碰撞或自洽场计算。适合原理学习。

实世界应用

核聚变等离子体约束：托卡马克和螺旋型装置使用强磁场约束高温等离子体。E×B漂移与等离子体输运和不稳定性密切相关，是高效约束设计的关键。

空间等离子体与电离层物理：地球周围的范艾伦辐射带和电离层中，荷电粒子在地磁场和电场中进行复杂运动。卫星通信和空间天气预报都需要模拟这些粒子行为。

加速器与束流光学：回旋加速器和同步加速器使用磁场使荷电粒子束沿圆轨道加速。四极磁铁等通过磁场控制束的聚焦和发散，基础都是这个原理。

分析仪器设计：质量分析计利用粒子在电磁场中的轨道随质量变化来分离离子。模拟是决定仪器分辨率的重要设计工具。

常见误解和注意事项

首先，"同时施加电场和磁场时，轨道是圆周运动和直线运动的简单叠加"——这是错的。在模拟器中同时打开电场Ey和磁场Bz试试。粒子会画出复杂的摆线轨道（类似圆滚线）。这是因为电场的加速影响瞬时速度，进而改变磁场的回旋半径，不是简单叠加。其次，不可忽视无量纲参数的重要性。例如，将磁场强度B增加10倍，圆周运动周期会变为1/10，但如果模拟的"时间步长"太大，一个周期只能计算几个点，轨道会扭曲。实务中，选择远小于粒子回旋周期的时间步长是精度的关键。最后，"初速度随便设成(1,0,0)就行"——不要这样。例如，若初速度完全平行于磁场（只有vz分量），施加Bz后粒子不会弯曲，直接前进。在模拟器中试试将"初速度 vₓ"设为0，"v_z"设为1，再施加磁场Bz，可以看到"力不起作用的情况"。要观察现象，必须给出垂直于磁场的速度分量。

带电粒子在电磁场中的运动模拟器