参数设置
载荷 P 会从 0 自动扫描到最大载荷 P_max，可视化椭圆接触面和压力的变化。简化规格：R_1y = R_1x（物体1为球面），物体2的R_2y从B/A反推。两物体均为钢材（E=210 GPa，泊松比0.3）固定。
椭圆接触面和压力分布（载荷 P 自动扫描）
随着载荷 P 增减，左侧椭圆接触面（2a × 2b）和右侧压力 p₀ 按 a, b ∝ P1/3 连续变化。虚线为 P_max 时的轮廓。
理论·主要公式
等价曲率和等价弹性率：
$$A = \tfrac{1}{2}\!\left(\tfrac{1}{R_{1x}}+\tfrac{1}{R_{2x}}\right),\quad B = \tfrac{1}{2}\!\left(\tfrac{1}{R_{1y}}+\tfrac{1}{R_{2y}}\right),\quad \frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}$$
系数 $m, n$ 由曲率比 $k=B/A$ 决定，本工具对基于完全椭圆积分解的表值进行线性插值。
椭圆接触面的长半径 $a$、短半径 $b$：
$$a = m\left(\frac{3F}{4E^{*}(A+B)}\right)^{1/3},\qquad b = n\left(\frac{3F}{4E^{*}(A+B)}\right)^{1/3}$$
最大接触应力 $p_{max}$（压力分布呈半椭球体）：
$$p_{max} = \frac{3F}{2\pi a b},\qquad p_{avg} = \frac{F}{\pi a b}$$
当 $k=1$（球接触）时 $m=n=1$，与通常的赫兹球接触相一致。
椭圆接触面赫兹模拟器简介
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赫兹接触是指球与平面相互压紧时形成的圆形接触面，对吗？这个模拟器说是"椭圆"，有什么不同吗？
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问得好。球与平面这样两个方向的曲率相同的话，接触面是圆。但如果两根轴线正交的圆柱相互压紧（交叉圆柱），那么一个方向密着而另一个方向立即分离，接触面就变成椭圆了。看一下，如果把"曲率比B/A"设为1就变成圆，设为5或10就变成细长的椭圆——你可以在屏幕左边看到。
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哦，真的！当我把B/A调大时，右侧压力分布的山峰保持不变，而左侧的椭圆竖着被挤压了。为什么要用系数表？为什么不用简单公式算呢？
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椭圆接触的严格解涉及完全椭圆积分，不能写成简单闭式。工程上使用Roark等资料中的系数表 m、n：对每个曲率比 k=B/A，a = m·(3F/(4E*(A+B)))^(1/3)、b = n·(3F/(4E*(A+B)))^(1/3)。本工具对 k=1 到 50 的8个椭圆积分表值做线性插值，结果可接近手册值。
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形式相同，都是p_max = 3F/(2πab)。原因是压力分布呈半椭球体形（像切成两半的鸡蛋），它的体积等于总荷重F。只要算出a和b，圆接触或椭圆接触都用同一个公式算最大压。顺便说，平均压力是F/(πab)，所以最大压总是平均压的1.5倍——这和形状无关，是个定值。
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那是椭圆接触的典型例子。车轮踏面和轨道顶部的曲率在行进方向和横向是不一样的，所以接触面是沿行进方向细长的椭圆。实际工程中车轮/轨道的分析用更复杂的专门工具，但用本模拟器也能抓住第一近似。如果想深入了解，看看wheel-rail-contact.html。
常见问题
当k=1时，系数m=n=1，长半径和短半径相等，接触面就变成完美的圆。这与普通球接触一致（hertz-contact.html中的内容），说明本工具正确地将球接触作为一般情况的特例包含了进去。你也可以验证：荷重从1000 N改到8000 N，a会增加约2倍（因为8^(1/3)≈2）。
本工具重点是让你直观理解"椭圆形状的几何效应"和"曲率比B/A对系数m、n的影响"，所以固定材料参数，只改变几何。钢-钢接触是工程上最常见的组合，得到E*=115.4 GPa。如果要分析不同材料或非铁金属的接触，请配合hertz-contact.html使用。
B/A→∞的极限对应线接触。本工具的表值在k=50处截断，不再向外推。极端细长的接触（k≫50）应当按线接触另行建模，这在hertz-line-contact.html中处理。实际工程应用中，交叉圆柱、球轴承沟等都在k=2～20范围内，很少超过50。
本工具只显示接触面上的压力分布。如果想看表面下的主应力和剪应力（这对滚动接触疲劳至关重要），请看subsurface-stress-hertz.html。椭圆接触中，深度方向最大剪应力的位置在短半径b和长半径a之间的深度，介于圆接触（0.48a）和线接触（0.78a）的中间值。
现实世界的应用
球轴承沟接触：球与内圈、外圈沟槽在轴向和滚动方向上的曲率不同。典型设计中沟曲率半径比球直径略大（约0.515～0.52倍），这样就形成长轴沿周向的椭圆接触面。沟适配度越小，接触应力越低，但摩擦和发热越大——这是轴承设计中的核心权衡点。
交叉圆柱与正交滚子：两根轴线正交的圆柱相互压紧的情形很多：针状滚子轴承的倒角部、凸轮机构从动件、拉伸试样夹具等。和线接触比，椭圆接触的接触面积更小，应力集中更高，所以要用本工具这样的一般赫兹模型来评定许用载荷。
斜齿轮和锥齿轮齿面：在斜齿轮或锥齿轮中，齿面的主曲率在螺旋方向和齿高方向不同，形成椭圆接触。齿面点蚀寿命计算（ISO 6336标准）要考虑这个椭圆形状，接触应力往往比直齿轮的线接触情况大几十个百分点。
铁路车轮和轨道：这是最常见、最重要的一般赫兹椭圆接触例子。直线区间是短椭圆，弯道时法兰接触会变成极细长的椭圆，应力分布也急剧变化。轨道头部形状随着磨损时间不断变化，接触椭圆的形状和应力也随之变化。
常见误解和注意事项
最常见的误解是：接触面是圆还是椭圆，p_max的公式也会变。实际上圆和椭圆都用同一个p_max = 3F/(2πab)表示，圆接触只是a=b的特例。在本工具中改变曲率比1→5→10，p_max的计算公式本身不变，只是a、b的数值变了，结果才不同。这是半椭球体压力分布的必然。
第二个要注意的是：系数m、n的表值插值仍有误差。本工具对 k=1 到 50 的8个完全椭圆积分表值进行线性插值，中间 k 值仍可能有1到数个百分点的插值误差。学术论文和精密设计应使用Hamrock-Brewe近似式或直接椭圆积分计算，但初步设计和教学用途已经足够。
最后要牢记：赫兹理论的前提。假设是完全弹性体、光滑表面、无摩擦、小变形，所以在超高载（钢的p_max超4 GPa）、表面粗糙度与接触宽度接近、边界润滑等情况下，本工具的值只是第一近似。实际寿命预测还要考虑摩擦热、深层剪应力、残留应力等多个因素，把本工具的结果当作"初步估算"来用。相关深入的工具：球接触见hertz-contact.html，线接触见hertz-line-contact.html，深层应力见subsurface-stress-hertz.html，车轮轨道见wheel-rail-contact.html。