参数设置
简化设定：R_1y = R_1x（物体 1 为球面），物体 2 的 R_2y 由 B/A 反推。两物体均为钢（E=210 GPa, ν=0.3）。
椭圆接触面与压力分布
左：接触面俯视图（椭圆，尺寸 2a × 2b）；右：沿长轴的压力分布（半椭球，颜色 = 压力）。
理论与主要公式
等效曲率与等效弹性模量：
$$A = \tfrac{1}{2}\!\left(\tfrac{1}{R_{1x}}+\tfrac{1}{R_{2x}}\right),\quad B = \tfrac{1}{2}\!\left(\tfrac{1}{R_{1y}}+\tfrac{1}{R_{2y}}\right),\quad \frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}$$
等效曲率半径 $R_{eq} = 1/(2\sqrt{AB})$。曲率比 $k=B/A$ 对应的系数 $m, n$ 由表值线性插值得到。
椭圆接触面长半径 $a$ 与短半径 $b$：
$$a = m\left(\frac{3FR_{eq}}{E^*}\right)^{1/3},\qquad b = n\left(\frac{3FR_{eq}}{E^*}\right)^{1/3}$$
最大接触压力 $p_{max}$（压力分布为半椭球）：
$$p_{max} = \frac{3F}{2\pi a b},\qquad p_{avg} = \frac{F}{\pi a b}$$
$k = 1$（球接触）时 $m = n = 1$，退化为经典 Hertz 球接触。
椭圆接触面赫兹模拟器简介
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赫兹接触不是球压平面那种圆形接触面吗？为什么这个工具叫"椭圆"？
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问得好。球压平面在每个方向曲率都一样，所以接触面是圆。但例如两根轴线垂直的圆柱（交叉圆柱）压在一起时，一个方向贴得紧、另一方向很快就分开，接触面就拉成椭圆了。把上面的"曲率比 B/A"调到 1 是圆，调到 5、10 椭圆就变得越来越细长。
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对，右边的压力分布形状不变，左边椭圆被压扁了。为什么必须用系数表？没有简洁公式吗？
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椭圆接触的精确解涉及完全椭圆积分，没有闭形代数表达式。工程上用 Roark、Johnson 教科书给的 m、n 系数表：a = m·(3FR_eq/E*)^(1/3)，b = n·(3FR_eq/E*)^(1/3)。本工具对 k = 1, 2, 5, 10, 50 五个表点做线性插值，与手册值非常接近，适合设计初算与教学。
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最大接触压力 p_max 的公式和球接触一样吗？
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形式相同：p_max = 3F/(2π·a·b)。因为压力分布是半椭球，其体积恰好等于总载荷 F。只要算出 a、b，无论圆接触还是椭圆接触都用同一个公式。平均压力是 F/(π·a·b)，所以最大压力始终是平均压力的 1.5 倍——这个比值与形状无关。
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典型的椭圆接触。车轮踏面与钢轨头顶部在前进方向和横向曲率不同，接触面是沿前进方向被拉长的椭圆。实际车轮/钢轨分析要用专用工具因为曲率会变化，但本工具能抓到一阶趋势。想深入可参考 wheel-rail-contact.html。
常见问题
k=1 时系数 m=n=1，长短半径相等，接触面退化为完美的圆。这正好是普通球接触（参见 hertz-contact.html），证明本工具的"一般化"模型确实把球接触作为特例包含进去。把载荷 F 从 1000 N 扫到 8000 N，可验证 a 大约变为 2 倍（因为 8^(1/3)≈2）。
本工具着重展示"椭圆几何效应"以及"曲率比对系数 m、n 的影响"，因此把材料参数固定，只让几何变化。钢-钢接触是工程上最常见的组合，得到 E* = 115.4 GPa。如需调整材料或处理异种金属接触，可与 hertz-contact.html 结合使用。
B/A 趋于无穷的极限对应线接触。本工具将 k 限制到 50（表值上限），不做外推。若接触极细长（k 远大于 50），更合理的做法是用线接触建模，见 hertz-line-contact.html。在交叉圆柱、滚动轴承沟槽等实际工程问题中，k 大多在 2 到 20 之间。
本工具仅展示接触面上的压力分布。若需要表面下的主应力或剪应力（滚动接触疲劳的起始位置），请参见 subsurface-stress-hertz.html。在椭圆接触中，最大剪应力深度大致介于 0.5b 与 0.5a 之间，即处于球接触（0.48a）与线接触（0.78a）这两个极限之间。
实际应用
球轴承沟槽接触：钢球与内/外圈沟槽在轴向与滚动方向上曲率半径不同。沟槽曲率半径通常设计为钢球直径的 0.515 ~ 0.52 倍，形成沿周向拉长的椭圆接触面。沟槽适合度越紧，接触应力越低，但滚动摩擦与发热增加，因此沟槽设计在应力寿命与摩擦之间需要折中。
交叉滚子与正交圆柱接触：两根轴线垂直的圆柱压合的场合出现在滚针轴承倒角、凸轮机构从动件、拉伸试验机试样夹持等。相同载荷下椭圆接触比线接触面积更小，应力更集中，因此评估许用载荷需要本工具这种一般 Hertz 模型。
齿轮齿面接触：斜齿轮、螺旋伞齿轮等齿面在螺旋方向与齿高方向主曲率不同，接触面为椭圆。ISO 6336 齿面点蚀寿命计算考虑这种椭圆形状，接触应力比纯 Hertz 线接触可高出数十百分点。
车轮 / 钢轨接触：铁路车轮踏面与钢轨头顶面的接触是身边最重要的椭圆 Hertz 应用例。直线段为圆形或较短椭圆；曲线段出现轮缘接触时则变为非常细长的椭圆，应力分布也变得陡峭。钢轨头部磨耗形态变化时，接触椭圆与应力水平也时刻在变。
常见误区与注意事项
最常见的误区是认为圆接触和椭圆接触的 p_max 公式不同。其实两者都用 p_max = 3F/(2π·a·b)，圆接触只是 a = b 的特例。本工具中改变曲率比从 1 → 5 → 10，stat 卡上 p_max 的公式始终不变，只是 a 与 b 变了导致数值不同。这是压力分布为半椭球这一事实的必然结果。
其次要注意m、n 系数表插值带来的误差。本工具在 k = 1, 2, 5, 10, 50 五点做线性插值，而精确值来自完全椭圆积分，因此在 k=2~5 区间线性插值可能有几个百分点的误差。学术论文或精密设计应使用 Hamrock-Brewe 拟合或直接的椭圆积分计算；设计初算与教学使用本工具的精度已足够。
最后，务必记住赫兹理论的前提。完全弹性体、光滑表面、无摩擦、小变形是理论假设，因此塑性变形发生（钢的 p_max 超过约 4 GPa）、表面粗糙度与接触宽度同量级、润滑油膜很薄的边界润滑等情况下，本工具的数值仅为一阶估计。实机寿命预测还需综合考虑摩擦热、表面下剪应力、残余应力与磨损历史等。延伸阅读：球接触 hertz-contact.html、线接触 hertz-line-contact.html、深度应力 subsurface-stress-hertz.html、车轮钢轨 wheel-rail-contact.html。