参数设置
假设为钢－钢 (E = 210 GPa, ν = 0.3)，等效弹性模量 E* ≈ 115.4 GPa。典型轨距为 1067mm（普通铁路）/ 1435mm（新干线）。干燥时 μ ≈ 0.30、潮湿时 μ ≈ 0.10、附着油污时 μ ≈ 0.05。
计算结果
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最大剪切应力 τ_max ≈ 0.30 p_max
车轮·轨道接触与接触椭圆
左侧＝在钢轨上滚动的车轮与接触椭圆（赫兹压力）／右侧＝表面下剪应力场 τ(z) 和 τ_max 的深度。改变轮重、车轮半径和钢轨曲率时，每帧都会更新。
接触面压力分布 p(x,y)
左＝车轮与钢轨截面图／右＝接触椭圆俯视图（长轴 2a × 短轴 2b）
理论·主要公式
椭圆上的 Hertz 半椭球压力分布。中心为 p_max，边界为零。等值线显示最大值的 25/50/75%。
理论与主要公式
车轮与钢轨在两个正交方向上的曲率不同，因此形成椭圆 Hertz 接触。等效曲率 A、B 与曲率比 k：
$$A = \tfrac{1}{2}\!\left(\tfrac{1}{R_{wx}}+\tfrac{1}{R_{rx}}\right),\ B = \tfrac{1}{2}\!\left(\tfrac{1}{R_{wy}}+\tfrac{1}{R_{ry}}\right),\ k=\tfrac{B}{A}$$
等效曲率半径 R_eq 与等效弹性模量 E*（钢－钢：E* ≈ 115.4 GPa）：
$$R_{eq} = \tfrac{1}{2\sqrt{A B}},\quad \tfrac{1}{E^*} = \tfrac{1-\nu_1^2}{E_1}+\tfrac{1-\nu_2^2}{E_2}$$
接触椭圆的长半轴 a、短半轴 b（m、n 为取决于曲率比 k 的系数）及最大接触应力：
$$a = m\!\left(\tfrac{3F R_{eq}}{E^* }\right)^{1/3},\quad b = n\!\left(\tfrac{3F R_{eq}}{E^* }\right)^{1/3},\quad p_{max} = \tfrac{3F}{2\pi a b}$$
黏着极限下的最大切向力（库仑摩擦定律）：
$$F_{t,\max} = \mu\, P$$
m、n 的值取决于曲率比 k；k=1 时 m=n=1（圆形接触），k 越大，椭圆越扁平。本工具对 k=1、1.5、2、5、10 的表值进行线性插值计算。
车轮·轨道接触模拟器简介
🙋
电车的车轮和轨道是怎么接触的？我只想象它在轨道上滚动。
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好问题。实际上车轮与轨道不是以"点"或"线"接触，而是以一个小的"椭圆"接触。看看模拟器右侧的接触椭圆图——约11mm长、9mm宽的椭圆面，面积仅约300mm²，但轮重100kN集中在这个面积上。这相当于每平方厘米超过3吨的压力。之所以形成椭圆，是因为车轮在滚动方向上有曲率，轨道头部在宽度方向上有曲率——两个正交方向的曲率不同。
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确实。用默认值（轮重100kN，车轮460mm，轨道300mm）计算，最大接触应力约480MPa。这相当于一般结构钢的拉伸强度（400～500MPa）。但实际上铁路用高碳钢（C含量0.7～0.8%）经过热处理，降伏应力提升到800～1000MPa，所以表面还在弹性范围内。问题在于表面下0.3～0.5×a（约4mm）处产生最大剪切应力，从这里开始疲劳裂纹形成，最终导致"剥离"现象。
🎓
电车通过车轮驱动来加速，但能无滑动传递给轨道的驱动力是有上限的。这就是用 F_t,max = μ·P 计算的粘着极限。干燥时 μ ≈ 0.3，轮重100kN时最多能传递30kN——模拟器的"最大切向力"卡片中显示。超过这个值，车轮就会空转。雨天或湿落叶时μ可以降到0.05以下，那样就只能传递5kN的力。秋季关东地区电车因空转而延误，就是这种物理现象的原因。
🙋
我拖动"车轮半径"滑块，发现椭圆大小会改变。增加半径会降低应力吗？
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会降低。从赫兹接触公式来看，应力与荷重的2/3次方成正比，与等效曲率半径的-2/3次方成正比。换句话说，增大车轮半径增加 R_eq，应力就会降低。新干线车轮910mm、在来线860mm、货车860mm——都相对较大，目的就是分散轮重、降低应力。轨道也一样，把头顶部曲率从300mm扩大到600mm，接触面积增大，应力就降低。在模拟器里动动 R_r 滑块试试。
常见问题
车轮在滚动方向上具有半径 R_w（典型值460mm）的曲率，但踏面宽度方向基本平坦；轨道在轨道方向上是直线，但头顶部宽度方向具有 R_r（典型值300mm）的曲率。由于直交两个方向曲率不同，根据赫兹理论，接触面形成椭圆而非圆形。曲率比 k = B/A 离1越远，椭圆越扁平，在标准条件 k=1.53 下，长半径/短半径约为1.30的椭圆。
驱动时车轮会滑空（空转），制动时会锁死并滑行。空转时踏面与轨道之间产生剧烈摩擦，导致踏面熔化、粗糙化，轨道局部淬硬。滑行时车轮在一个位置被不断削磨，形成"平面磨损"，行驶时产生敲击声和高动态荷载。现代电车配备"再粘着控制"，能自动检测空转/滑行并调节扭矩，使得雨天也能保持稳定的加减速。
水进入接触面时，会阻断金属间的粘着接触，导致表观摩擦系数下降。干燥时 μ ≈ 0.30，潮湿时降至 μ ≈ 0.10，油污或落叶汁液时降至 μ ≈ 0.05。秋季落叶问题尤其严重，在英国、德国、日本都引起过大规模列车延误。应对措施包括砂撒装置、陶瓷粒子喷射、摩擦调整剂（FM）涂布等。
赫兹接触产生三轴压缩约束状态，即使最大主应力超过单轴屈服应力，材料也不会屈服。塑性流动从表面下0.3～0.5×a处的最大剪切应力（约0.3×p_max）开始，当它超过单轴剪切屈服应力（约屈服应力的一半）时初始屈服。铁路用高碳钢（屈服应力800～1000MPa）的 p_max ≈ 1500MPa 时仍在弹性范围，但反复接触导致转动接触疲劳（RCF）不断进展。详见hertz-contact.html（球接触）、rolling-contact-fatigue.html、rolling-contact-stress.html。
实际应用
铁路车辆踏面设计：新干线、在来线、地下铁、路面电车的车轮踏面曲率（锥度、圆锥勾配）与轨道头顶部曲率组合决定了接触应力和走行稳定性。新干线采用1/40修正锥度和60kg轨道头顶R300mm组合，兼顾轨道追踪性和接触应力平衡。
轴重限制的根据：各国铁路对轴重（单轴荷载）有法令限制，目的是保护轨道和路基。日本在来线最大16～17t、新干线16t、欧洲货物列车22.5t、美国货物列车32t。轴重越高，接触应力越大，轨道、车轮、桥梁、路基寿命越短，因此在维护成本和通运能力间取得平衡。
剥离现象预防保全：轨道表层剥离（剥离）和车轮法兰周围损伤（头检查）源于反复赫兹接触应力导致的疲劳破坏。日本JR各社用超声波探伤车、轨道图像诊断车定期检查，预测损伤发展后用轨道削正车预防性削去表层。美国已实用化出租车顶部激光传感器连续监视系统。
曲线通过与磨损对策：曲线通过时外轨侧是法兰接触、内轨侧是踏面接触，接触状态大幅变化。半径300m以下急曲线采用法兰油、轨道侧油涂布，降低摩擦系数，抑制法兰磨损和轨距角开裂。最新路面电车采用独立车轮、操舵台车等设计，进一步优化接触状态。
常见误解与注意事项
最常见的误解是"接触应力与轮重成正比"。实际上赫兹接触中应力与轮重的1/3次方成正比。轮重增加2倍，接触应力也只增加约1.26倍。这是因为接触面积本身也随轮重的2/3次方扩大。在模拟器中把轮重从50kN增加到200kN（增加4倍），p_max只增加约1.59倍就能看出来。换句话说，光降低轴重对应力降低效果有限，改善轨道头部曲率或增大车轮直径的效果更明显。
另一个常见误解是"提高摩擦系数就能无限提高加速性能"。虽然粘着极限 F_t = μ·P 与摩擦系数成正比，但过度提高μ会导致车轮和轨道双方磨损急增，滑行距离延长，燃油消耗和电力消耗恶化。实机根据运行模式涂布摩擦调整剂，驱动部分实现适当粘着，惰行和制动部分实现适度滚动阻力——"分区摩擦管理"。新干线每列车要消耗数十升摩擦调整剂。
最后要注意的是本模拟器是基于赫兹理论的理想化静态分析。实际车轮·轨道接触涉及列车行驶的动态荷载（轨道不整、接头冲击）、温度应力（夏季轨道屈曲）、车轮平面磨损导致的冲击荷载、蠕动力（微小滑动下的切向力）等复杂重叠。本工具显示的 p_max ≈ 480 MPa 是静态赫兹应力，实机设计时要乘以动态放大系数（DAF）1.5～2.0。此外还有转动接触疲劳、波纹、走行稳定性（霍洛肯现象）等本工具范围外的现象。详细评估需要专用CAE软件（CONTACT、VAMPIRE等）和实机试验。