假设钢-钢接触（E = 210 GPa，ν = 0.3），等效弹性模量 E* ≈ 115.4 GPa。典型轨距 1067 mm（窄轨）/ 1435 mm（标准轨）。干燥 μ ≈ 0.30，湿润 μ ≈ 0.10，油污 μ ≈ 0.05。
左 = 车轮/钢轨截面图 / 右 = 接触椭圆的顶视图（长轴 2a × 短轴 2b）
椭圆上的赫兹半椭球形压力分布。中心为 p_max，边界为零。等高线表示峰值的 25/50/75%。
车轮与钢轨的接触是椭圆赫兹接触，因为两个正交方向的曲率不同。等效曲率 A、B 与曲率比 k：
$$A = \tfrac{1}{2}\!\left(\tfrac{1}{R_{wx}}+\tfrac{1}{R_{rx}}\right),\ B = \tfrac{1}{2}\!\left(\tfrac{1}{R_{wy}}+\tfrac{1}{R_{ry}}\right),\ k=\tfrac{B}{A}$$
等效曲率半径 R_eq 与等效弹性模量 E*（钢-钢：E* ≈ 115.4 GPa）：
$$R_{eq} = \tfrac{1}{2\sqrt{A B}},\quad \tfrac{1}{E^*} = \tfrac{1-\nu_1^2}{E_1}+\tfrac{1-\nu_2^2}{E_2}$$
接触椭圆的长半轴 a 与短半轴 b（系数 m、n 取决于曲率比 k），以及最大接触应力：
$$a = m\!\left(\tfrac{3F R_{eq}}{E^*}\right)^{1/3},\quad b = n\!\left(\tfrac{3F R_{eq}}{E^*}\right)^{1/3},\quad p_{max} = \tfrac{3F}{2\pi a b}$$
粘着极限下的最大切向力（库仑摩擦定律）：
$$F_{t,\max} = \mu\, P$$
m 和 n 的值取决于曲率比 k：k = 1 时 m = n = 1（圆形接触），k 越大椭圆越扁。本工具对 k = 1、1.5、2、5、10 的表值进行线性插值。
关于车轮-钢轨接触模拟器
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电车的车轮和钢轨到底是怎么接触的呢？我只有"在轨道上滚动"的模糊印象。
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好问题。实际上车轮和钢轨既不是"点"也不是"线"接触，而是在一个小"椭圆"上接触。看一下模拟器右侧的接触椭圆图——长约 11 mm、宽约 9 mm 的椭圆，仅 300 mm² 左右的面积上集中了 100 kN 的轮重，相当于每平方厘米超过 3 吨的压力。之所以是椭圆，是因为车轮在滚动方向上有圆度、钢轨在轨头宽度方向上有圆度——两个正交方向的曲率不同。
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原来集中在这么小的面积上！那应力一定相当大吧？
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是的。用默认值（轮重 100 kN、车轮 460 mm、钢轨 300 mm）计算，最大接触应力达到约 480 MPa，与普通结构钢的抗拉强度（400～500 MPa）相当。但实际上铁路钢轨用高碳钢（C 0.7～0.8%）经过热处理后屈服应力达到 800～1000 MPa，所以表面保持在弹性范围内。问题是表面下 0.3～0.5×a（约 4 mm）处会产生最大剪应力，疲劳裂纹从那里萌生，最终发展成被称为"剥离"（shelling）的表面剥落现象。
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电车通过电动机带动车轮加速，但能在不打滑的情况下传给钢轨的驱动力有上限，这就是 F_t,max = μ·P 计算出的粘着极限。干燥时 μ ≈ 0.3、轮重 100 kN 时最多 30 kN——就是模拟器"最大切向力"卡片上显示的值。超过这个值，车轮就会空转。雨水或潮湿的落叶让 μ 降到 0.05 时，只能输出 5 kN。秋季关东圈的电车因空转而延误，原因就在这个物理现象。
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移动"车轮半径"滑块时，椭圆大小会变化。把车轮做大可以降低应力吗？
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可以。根据赫兹接触公式，应力与载荷的 2/3 次方成正比，与等效曲率半径的 -2/3 次方成正比。所以把车轮做大、提高 R_eq，就能降低应力。新干线车轮 910 mm、传统线 860 mm、货车 860 mm——都做得比较大，就是为了把轮重分散开来抑制应力。钢轨侧也一样，把轨头曲率半径从 300 mm 加大到 600 mm，接触面积会增大、应力会下降。可以用模拟器的 R_r 滑块亲自确认一下。
常见问题
为什么车轮与钢轨的接触面是椭圆形？
车轮在滚动方向上具有半径 R_w（典型值 460 mm）、踏面宽度方向几乎是平的；钢轨在轨道方向上是直线、但轨头顶部具有曲率 R_r（典型值 300 mm）。两个正交方向上曲率不同，根据赫兹理论，接触面不是圆而是椭圆。曲率比 k = B/A 离 1 越远，椭圆越扁。标准条件 k = 1.53 时，长半轴/短半轴约为 1.30。
超过粘着极限会怎么样？
驱动时车轮空转（slip），制动时车轮抱死滑行（slide）。空转会在踏面与钢轨之间产生剧烈摩擦，引起踏面熔化粗化和钢轨局部淬硬。滑行会在车轮一处削平形成"扁疤"，运行时产生撞击声和高动态载荷。现代电车标配空转/滑行检测和再粘着控制，能自动减小扭矩，即使在雨天也能维持稳定的加减速性能。
为什么湿润的钢轨上摩擦系数会下降？
水进入接触面会阻碍金属之间的粘附接触，使表观摩擦系数下降。干燥时 μ ≈ 0.30，湿润时降到 μ ≈ 0.10，附着油或落叶汁时甚至降到 μ ≈ 0.05。秋季落叶问题在英国、德国、日本的铁路都会造成大规模延误。对策包括撒砂装置、陶瓷颗粒喷射、摩擦调整剂（FM: Friction Modifier）涂布等。
这种接触应力真的不会超过屈服应力吗？
在赫兹接触下材料处于三轴受压状态，最大主应力即使超过单轴屈服应力也不会发生屈服。塑性流动的起点是表面下 0.3～0.5×a 处的最大剪应力（≈ 0.3×p_max），当它超过单轴剪切屈服应力（约屈服应力的一半）时开始初次屈服。铁路用高碳钢（屈服 800～1000 MPa）在 p_max ≈ 1500 MPa 以下保持弹性，但反复接触仍会引起滚动接触疲劳（RCF: Rolling Contact Fatigue）。相关工具请参考 hertz-contact.html（球接触）、rolling-contact-fatigue.html、rolling-contact-stress.html。
实际应用
铁路车辆的踏面设计： 在新干线、传统线、地铁、有轨电车中，车轮踏面曲率（锥度，conicity）与钢轨头部曲率的组合决定了接触应力和走行稳定性。新干线采用 1/40 的修正锥度搭配 60 kg 钢轨的轨头 R300 mm，在轨道追随性和接触应力之间取得平衡。
轴重限制的依据： 各国铁路依法限制轴重（每轴载荷），是为了保护钢轨和路基。日本传统线最大 16～17 t、新干线 16 t、欧洲货物列车 22.5 t、美国货车高达 32 t。轴重越高，接触应力越大，钢轨、车轮、桥梁、路基的寿命就越短，因此要与养护成本权衡决定。
剥离（shelling/spalling）的预防性维护： 钢轨表层剥离和车轮轮缘附近的损伤（head check）是由反复赫兹接触应力引起的疲劳破坏。日本 JR 各公司通过超声波探伤车、钢轨图像诊断车定期检查，预测损伤进展并用钢轨打磨车预防性地削去表面层。美国还实用化了在驾驶室安装激光传感器进行连续监测的系统。
曲线通过与磨损对策： 在曲线段，外轨侧为轮缘接触、内轨侧为踏面接触，接触状态变化很大。半径 300 m 以下的急曲线上，会涂布轮缘油或钢轨侧面油以降低摩擦系数，从而抑制轮缘磨损和轨距角裂纹。最新有轨电车还采用独立旋转车轮和导向转向架来优化接触状态。
常见误解与注意事项
最常见的误解是认为"接触应力与轮重成正比" 。事实上在赫兹接触中，应力与轮重的1/3 次方 成正比。轮重加倍，接触应力只增加约 1.26 倍——因为接触面积本身也以 2/3 次方扩大。在模拟器中把轮重从 50 kN 变到 200 kN（4 倍），可以看到 p_max 只增加约 1.59 倍。反过来说，降低轴重的应力缓解效果有限，改善钢轨头部曲率或加大车轮直径更有效。
其次常见的是"摩擦系数越大、加速性能就越无止境地提升" 的误解。粘着极限 F_t = μ·P 确实与摩擦系数成正比，但 μ 过大会使车轮和钢轨双方的磨损急剧增加，惰行距离缩短，能耗和电耗都恶化。实机会根据运行模式涂布摩擦调整剂，在驱动区段实现适当粘着、在惰行和制动区段保持适度滚动阻力，进行"分区摩擦管理"。一列新干线每次运行要消耗数十升摩擦调整剂。
最后请注意，这个模拟器是赫兹理论的理想化静态分析 。实际的车轮-钢轨接触还要叠加列车走行的动态载荷（轨道不平顺、接缝冲击）、温度应力（夏季钢轨胀轨）、车轮扁疤造成的冲击载荷、蠕滑力（微小滑移下的切向力）等复杂因素。本工具显示的 p_max ≈ 480 MPa 是静态赫兹应力，实机设计时还要乘以动态放大系数（DAF: Dynamic Amplification Factor）1.5～2.0。此外还有反复载荷引起的滚动接触疲劳、波磨、走行稳定性（蛇形运动）等本工具范围之外的现象。详细评估要结合专用 CAE 软件（CONTACT、VAMPIRE 等）和实机试验。