默认值采用水（20℃，γ = 72.8 mN/m 取整为 73、ρ = 1000 kg/m³、θ = 0°）。重力加速度 g = 9.81 m/s²。R 的单位为 mm，γ 的单位为 mN/m（= 10⁻³ N/m）。
左＝球面液滴（半径 R，内压 P_in 与外压 P_out，ΔP=2γ/R）／中＝毛细管（接触角 θ，上升高度 h）／右＝肥皂泡（薄膜两面，ΔP=4γ/R）
横轴＝R [mm]（0.005〜10，对数）／纵轴＝ΔP [Pa]（对数）／蓝色＝球面 2γ/R／绿色＝圆柱 γ/R／红色＝肥皂泡 4γ/R／黄点＝当前 R
气液界面的曲率会产生内外压差，由杨-拉普拉斯方程描述。
球面液滴或气泡（曲率半径 R）：
$$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$$
圆柱液柱（半径 R，轴对称）：
$$\Delta P = \frac{\gamma}{R}$$
肥皂泡（内外 2 个界面）：
$$\Delta P = \frac{4\gamma}{R}$$
Jurin 毛细管上升（半径 r，接触角 θ）：
$$h = \frac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r}$$
Bond 数（重力与表面张力之比）：
$$\mathrm{Bo} = \frac{\rho g R^{2}}{\gamma}$$
$\gamma$ 为表面张力 [N/m]，$R$ 为曲率半径 [m]，$\theta$ 为接触角，$\rho$ 为液体密度 [kg/m³]，$g = 9.81$ m/s² 为重力加速度。Bo < 1 为表面张力支配，Bo > 1 为重力支配。
杨-拉普拉斯方程模拟器是什么
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水滴越小越接近球形是因为表面张力，对吧？那内压和外压具体怎么算？
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问得好。这就是杨-拉普拉斯方程 ΔP = 2γ/R 给出的：表面张力 γ 像被拉紧的橡皮膜一样作用，半径 R 的球面里面的压力比外面高 2γ/R。在本模拟器中保持 γ=73 mN/m（水）、R=0.5 mm，会读到 ΔP=292 Pa。半径 0.05 mm 的雾滴则是 10 倍的 2920 Pa，这就是 Kelvin 效应（小液滴蒸发慢、过饱和云中大液滴吃掉小液滴）的入门点。
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中间的毛细管图显示 h=29.8 mm，是说细玻璃管插水里真的能上升 30 mm 左右吗？
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没错。Jurin 定律 h = 2γcosθ/(ρgr) 给出半径 0.5 mm 玻璃管中水（θ ≈ 0°）大约上升 30 mm。把管直径换到 0.1 mm（R=0.05 mm），h 就跳到 5 倍约 150 mm — 这正是纱布、海绵能瞬间吸水的原理。植物把树液送到树冠也用同样的原理：根的木质部（半径 5〜100 μm）的毛细管力＋叶面蒸腾产生的负压共同作用。
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右边肥皂泡的公式怎么是 4γ/R？为什么是液滴的 2 倍？
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肥皂膜内外两面都与气体接触，共有 2 个气液界面。每个界面贡献 2γ/R，加起来就是 4γ/R 作用在膜内侧。半径 5 mm 的肥皂泡（γ ≈ 25 mN/m）下 ΔP = 4×0.025/0.005 = 20 Pa。著名的「双气泡实验」（用吸管把两个肥皂泡连起来）正是因此不稳定 — 小气泡内压更高，会把气体压进大气泡里，最终大气泡越变越大。
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面板还显示「Bond 数 0.034」，那是干什么用的？
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Bond 数 Bo = ρgR²/γ 是重力和表面张力的比值。水、R=0.5 mm 时 Bo=0.034，深陷表面张力支配区 — 雨滴能保持球形。把 R 提到 5 mm，Bo=3.4 进入重力支配区，雨滴被压扁成「汉堡型」。临界点约 Bo ≈ 1，水对应毛管长 R ≈ 2.7 mm（√(γ/ρg)）。在国际空间站等微重力环境中 g→0、Bo→0，杯子里的水会浮成球状团块，你大概在视频里见过？
常见问题
为什么肥皂泡的内压是液滴的 2 倍？
球面液滴只有 1 个气液界面，而肥皂泡的薄膜内外两侧都与空气接触，共有 2 个界面。每个界面贡献 2γ/R 的压差，合计 4γ/R 作用在膜内侧。半径 5 mm 的肥皂泡（γ ≈ 25 mN/m）下 ΔP ≈ 20 Pa，意外地小，所以稍用力一吹就破。在本模拟器中将 R 设为 5 mm，即可看到球面、圆柱与肥皂泡 3 条曲线呈 2:1:4 的整齐比例。
为什么管子越细，毛细管上升越高？
Jurin 定律 h = 2γ cosθ/(ρgr) 表明上升高度与管半径 r 成反比。表面张力沿周长 2πr 作用，而被支撑液柱的重量按 πr²hρg 与半径平方成正比，平衡时给出 h ∝ 1/r。直径 0.1 mm 的玻璃毛细管中水可上升约 30 cm，植物的木质部就是利用同样原理把水输送到树冠。在本模拟器将 R 从 0.5 → 0.1 mm 调小，h 即会跳到 5 倍。
Bond 数 Bo 该如何使用？
Bond 数 Bo = ρgR²/γ 是重力与表面张力的比值。Bo ≪ 1 时表面张力支配（小液滴呈球形），Bo ≫ 1 时重力支配（大水洼摊平）。临界点约 Bo ≈ 1，水对应 R ≈ 2.7 mm（毛管长 √(γ/ρg)）。直径超过 5 mm 的雨滴会被压扁，正是因为进入了 Bo > 1 的区域。在本模拟器将 R 从 0.5 mm 调到 5 mm，Bo 会从 0.034 变化到 3.4，可一目了然地看到从表面张力到重力支配的过渡。
接触角 θ 大于 90° 时会怎样？
θ 大于 90° 时 cosθ 变为负数，毛细管上升 h 会变成负值（即下降）。例如水银（θ ≈ 140°）在玻璃毛细管中，cos140° ≈ −0.77，液面比周围下沉。这是因为水银分子间的内聚力大于其与玻璃的粘附力，也是温度计中水银凸液面的物理原因。在本模拟器中将 θ 设为 130°，即可看到 h 显示为负值；疏水涂层表面（θ > 90°）也会出现同样现象。
实际应用
喷墨打印机的液滴喷射设计： 家用喷墨打印机的喷嘴直径为 20〜50 μm（R=10〜25 μm）。在本模拟器输入 R=0.025 mm、γ=30 mN/m（典型墨水），得到 ΔP=2400 Pa，这是把液滴推出所需的最低压力。实际热气泡式喷墨会产生超过 100 kPa 的气泡压力，但杨-拉普拉斯方程给出底线。喷嘴直径制造误差 5% 直接对应压力误差 5%，进而影响打印质量。
植物水分输送与土壤物理： 水能被输送到 100 m 高的红杉树冠，靠的是根毛和木质部（半径 5〜100 μm）的毛细管力，加上叶面蒸腾产生的强负压（−1 MPa 以上）。在本模拟器输入 R=0.005 mm、γ=72.8 mN/m，得到 h=2.97 m — 单靠毛细管就能上升 3 m。土壤含水保持能力同样由颗粒间隙（数〜数百 μm）形成的弯月面 ΔP 决定，Bond 数是灌溉设计的重要指标。
微流体与 MEMS 器件： 在 100 μm 宽的微流道中，毛细压（约 1500 Pa）和外部泵压相当，不能忽略。Lab-on-a-chip 故意用疏水涂层（θ > 90°）做出「毛细阀」，只有外加压力超过阈值才会流动。在本模拟器输入 θ=130°、R=0.05 mm，会得到 h=−14.8 mm 的负值上升，直观显示流体被阻塞的机理。
气泡与喷雾的物理： 碳酸饮料和发酵罐中产生的 CO₂ 气泡，刚成核时（R≈1 μm）有 ΔP=146 kPa 的巨大内压，决定它「继续生长还是溶解回去」的边界。R 增加时 ΔP 急剧下降，到可见尺寸（R=1 mm）时只有 146 Pa。喷涂的液滴粒径分布、核反应堆冷却系统的偏离核态沸腾（DNB）现象的分析中，杨-拉普拉斯方程都是常用起点。
常见误解与注意事项
最常见的误解是认为「液滴的内压与半径无关」 。实际上杨-拉普拉斯方程 ΔP = 2γ/R，内压与半径成反比。半径 1 mm 的水滴 ΔP=146 Pa，半径 1 μm 的雾滴则是 1000 倍的 146 kPa — 这就是 Kelvin 效应（小液滴的饱和蒸气压更高，过饱和云中大液滴会吸收小液滴的水分而长大，即 Ostwald 熟化）的原因。在本模拟器把 R 从 0.005 调到 10 mm 看 log-log 图，能清楚看到 ΔP 沿斜率 −1 的直线下降。
其次是「毛细管上升是违反重力的永动能源」 的误解。Jurin 上升释放表面能，达到平衡时系统总能量已最小化。要让液柱回到原点需付出位能，所以并非永动机。本模拟器的 Bond 数曲线明确指出极限：一旦 Bo > 1 重力支配，毛细管上升按半径与毛管长的关系自然饱和。
最后，常有人以为「4γ/R 公式是肥皂膜专用」 ，其实它适用于任何「具有 2 个气液界面的薄液膜」：啤酒泡沫、泡沫混凝土、肺泡的表面活性剂膜等都是 4γ/R。反过来，空气中的水滴（1 个界面）和水中的气泡（1 个界面）都遵循 2γ/R，「气泡在气体和液体中不一样」也是误解。本模拟器中 3 条曲线的系数（1, 2, 4）实际上对应的是「界面数」，记住这点就不易混淆。