参数设置
默认值为水（20℃，γ = 72.8 mN/m四舍五入至73，ρ = 1000 kg/m³，θ = 0°）。重力加速度g = 9.81 m/s²。R单位为mm，γ单位为mN/m（= 10⁻³ N/m）。
液滴、毛细管、肥皂泡示意图
左 = 球形液滴（半径R、内压P_in和外压P_out、ΔP=2γ/R）／中 = 毛细管（接触角θ、上升高度h）／右 = 肥皂泡（薄膜2个表面，ΔP=4γ/R）
曲率半径R对拉普拉斯压ΔP（对数-对数）
横轴 = R [mm]（0.005～10，对数）／纵轴 = ΔP [Pa]（对数）／蓝 = 球形2γ/R／绿 = 圆柱γ/R／红 = 肥皂泡4γ/R／黄点 = 当前R
理论和主要公式
气液界面的曲率产生内外压力差，由杨-拉普拉斯方程描述。
球形液滴、气泡（曲率半径R）：
$$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$$
圆柱液柱（半径R，轴对称）：
$$\Delta P = \frac{\gamma}{R}$$
肥皂泡（内外2个表面）：
$$\Delta P = \frac{4\gamma}{R}$$
朱兰毛细管上升（半径r、接触角θ）：
$$h = \frac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r}$$
邦德数（重力与表面张力的比）：
$$\mathrm{Bo} = \frac{\rho g R^{2}}{\gamma}$$
其中$\gamma$为表面张力[N/m]，$R$为曲率半径[m]，$\theta$为接触角，$\rho$为液体密度[kg/m³]，$g = 9.81$ m/s²为重力加速度。Bo < 1时表面张力支配，Bo > 1时重力支配。
杨-拉普拉斯模拟器简介
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水滴变小时越来越接近球形。我学过这是表面张力的原因，但是内压和外压怎样计算呢？
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很好的观察。杨-拉普拉斯方程ΔP = 2γ/R正是答案。表面张力γ像一层紧绷的橡皮膜，缩小界面。对于球形（曲率半径R），内压会比外压高出2γ/R。用本工具设置γ=73 mN/m（水），R=0.5 mm，得到ΔP = 292 Pa。如果液滴半径只有0.05 mm（雾粒），那么ΔP就变成29200 Pa，高出100倍。这就是小液滴难以蒸发的开尔文效应的开始。
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中间毛细管图里显示h=29.8 mm，是说在细玻璃管里把水立起来，它会上升约30 mm吗？
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完全正确。朱兰公式是h = 2γcosθ/(ρgr)。对于半径0.5 mm的玻璃管中的水（θ ≈ 0°），上升高度约30 mm。如果将管细化到0.1 mm（R=0.05 mm），h会增加5倍到约150 mm——这就是为什么纱布和海绵那么快就能吸水。植物的根部道管将水运输到树梢，正是利用道管（半径5～100微米）的毛细管力加上叶面蒸腾产生的负压。
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肥皂泡的薄膜有内外两个气液界面，不同于单个液滴。每个界面都产生2γ/R的压力差，两个加起来就是4γ/R。半径5 mm的肥皂泡（γ ≈ 25 mN/m）的内压仅比外界高20 Pa——很小但足以让泡泡很容易就破裂。有个经典实验：用吸管连接大小两个肥皂泡。小泡的内压高，气体会流向大泡，大泡更膨胀，小泡更收缩，最后小泡消失。这就是为什么两个相连的肥皂泡不稳定。用本工具设R = 5 mm，你会看到球形、圆柱形、肥皂泡的三条曲线完美地以2:1:4的比例排列。
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邦德数Bo = ρgR²/γ衡量重力与表面张力的相对强弱。水在R=0.5 mm时Bo=0.034很小，表面张力占绝对上风——小雨滴能保持球形。但当R增加到5 mm时，Bo=3.4，重力开始支配，雨滴会被压扁成"汉堡包"形。临界点大约在Bo ≈ 1，对水来说约为R ≈ 2.7 mm，即毛细管长√(γ/ρg)。用本工具从R=0.5 mm拖到5 mm，Bo从0.034增加100倍到3.4，表面张力向重力支配的过渡一目了然。在国际空间站的零重力环境（g≈0），Bo→0，水会聚成球形块体，太空中的水实验常有这样的镜头。
常见问题
球形液滴与外界液体的边界只有1个表面，而肥皂泡的薄膜有内外2个表面与空气接触。每个表面产生2γ/R的压力差，总共为膜内部的4γ/R。对于半径5 mm的肥皂泡（γ ≈ 25 mN/m），ΔP ≈ 20 Pa虽然很小，但这就是为什么用力吹肥皂泡很容易破裂。本工具设置R = 5 mm时，可以看到球形、圆柱形、肥皂泡的3条曲线完美地以2:1:4的比例排列。
根据朱兰公式h = 2γ cosθ/(ρgr)，上升高度与管半径成反比。这是因为表面张力作用在周长2πr上，但需要提升的液柱重量与πr²h ρg成正比（与半径平方有关），两者平衡时h ∝ 1/r。直径0.1 mm的玻璃毛细管中水的上升高度h ≈ 30 cm，这就是植物根部道管将水运输到树冠的机制之一。本工具中将R从0.5 mm降低到0.1 mm时，可以看到h增加5倍。
邦德数Bo = ρgR²/γ是重力与表面张力的比值。当Bo ≪ 1时为表面张力支配（小液滴呈球形），当Bo ≫ 1时为重力支配（大水坑呈平面）。边界约在Bo ≈ 1处，对于水来说R ≈ 2.7 mm（毛细管长√(γ/ρg)）是参考值。直径超过5 mm的雨滴变得扁平就是因为进入了Bo > 1的区域。本工具中将R从0.5 mm变到5 mm时，Bo从0.034变到3.4，增加100倍，可以清晰地看到从表面张力支配向重力支配的过渡。
当θ > 90°时，cosθ变为负数，毛细管上升h变为负值（即毛细管下降）。例如水银（θ ≈ 140°）在玻璃毛细管中，cos140° ≈ −0.77，液面会降低到周围液面以下。这是因为水银分子间的内聚力大于对玻璃的粘着力，这也是温度计中水银形成上凸弯液面的物理原因。本工具设置θ = 130°时会显示负的h值，说明撥水涂层表面（θ > 90°）也会出现同样现象。
实世界应用
喷墨打印机液滴喷出设计：家用喷墨打印机的喷嘴直径20～50微米（R=10～25微米），代入本工具设置R=0.025 mm、γ=30 mN/m（打印墨水），可得ΔP=2400 Pa作为必需的最低喷出压力。实际的热喷式喷墨头产生超过10⁵ Pa的气泡压力来射出液滴，但杨-拉普拉斯方程提供了"至少需要这个压力"的基准。喷嘴制造误差导致R偏差5%就会使ΔP也偏差5%，直接影响打印品质。
植物水分运输和土壤物理：高度超过100米的红杉树梢的水，通过根毛、导管（半径5～100微米）的毛细管力和叶面蒸腾产生的负压（−1 MPa以上）联合运输上去。本工具设置R=0.005 mm、γ=72.8 mN/m可得h=2.97 m——仅靠毛细管作用就能上升3 m。土壤持水能力也由土壤粒子间隙（数微米到数百微米）形成的弯液面的ΔP决定，邦德数Bo值是灌溉设计的指导指标。
微流体和微机电系统(MEMS)：在宽100微米的微流路中输送水时，杨-拉普拉斯估算的毛细压（ΔP ≈ 1500 Pa）与外部泵压在同一数量级，不能忽视。芯片实验室(Lab-on-a-chip)中故意使用撥水涂层（θ > 90°）制作"毛细管阀"，当压力达到阈值时才允许流体流动。本工具设置θ=130°、R=0.05 mm时显示h=−14.8 mm的负上升，直观展示流体堵塞机制。
气泡和喷雾物理：碳酸饮料或发酵罐中新生成的CO₂气泡（R≈1微米）内压高达ΔP=146 kPa，决定了气泡在过饱和液体中是继续生长还是溶解。当R增至可见尺寸（R=1 mm）时，ΔP降至146 Pa。喷涂液滴粒径分布、核电站冷却系统的沸腾危机(DNB)现象的理解都以杨-拉普拉斯为出发点。
常见误区和注意事项
最常见的误区是"液滴内压与半径无关"。实际上杨-拉普拉斯方程ΔP = 2γ/R表明内压与半径成反比。半径1 mm的水滴ΔP=146 Pa，但半径1微米的雾粒ΔP=146 kPa，高出1000倍。这就是开尔文效应（小液滴蒸汽压更高，在过饱和云中大液滴通过吞噬小液滴而成长的奥斯特瓦尔德熟化）的根源。本工具在对数-对数图上从R=0.005 mm拖到10 mm，ΔP直线递减（斜率−1），直观展现这种关系。
另一个常见误解是"毛细管上升是永久的能量来源"。朱兰上升是表面能释放驱动的，上升平衡时系统能量已达最小。如果将液体放回去，需要投入相应的位置能。本工具中邦德数Bo的值表明，当Bo > 1时重力压倒表面张力，毛细管上升自然受限于半径。
最后，"肥皂泡公式4γ/R是石膏膜特有"的想法不对。这实际上适用于任何"有2个气液界面的薄液膜"——啤酒泡沫、发泡混凝土、肺泡表面活性物膜等都满足4γ/R的压力关系。相反，浮在空气中的水滴和水中的气泡都是单界面，都遵循2γ/R，不因介质不同而改变。本工具的3条曲线对比说明：系数差异源于界面个数，不是液体或气体的种类。