伝熱 (Heat Transfer) — CAE用語解説

伝熱には大きく3つの形態がある。伝導（conduction）は物質内を分子振動で熱が伝わるもの、対流（convection）は流体の移動に伴って熱が運ばれるもの、放射（radiation）は電磁波として真空中でも熱が伝わるもの。実際の工学問題ではこの3つが同時に起きていることが多いんだ。

たとえばノートPCの冷却を考えてみよう。CPUの発熱はヒートシンクに伝導で伝わり、ファンが回って空気が対流でヒートシンクの熱を奪い、筐体表面からは放射でも少し放熱している。自動車のエンジンブロックなんかも同じで、3形態全部が絡んでくる。

フーリエの法則は1次元だとこうなる：

$$q = -k \frac{dT}{dx}$$

$q$ は熱流束（W/m²）、$k$ は熱伝導率（W/(m·K)）、$dT/dx$ は温度勾配。マイナスが付くのは、熱は必ず高温から低温へ流れるからだ。3次元だとベクトル形式で $\mathbf{q} = -k \nabla T$ になる。

桁違いに変わるよ。銅は約400 W/(m·K)で抜群に熱を通すけど、空気は0.026くらい。断熱材だと0.02〜0.04程度。だから材料の $k$ 値を正確に入れないと、CAEの熱解析は全然違う結果になる。特に複合材料やガスケットなんかは要注意だ。

そう。フーリエの法則をエネルギー保存と組み合わせると、熱伝導方程式が出てくる：

$$\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (k \nabla T) + \dot{q}_v$$

$\rho$ は密度、$c_p$ は比熱、$\dot{q}_v$ は体積あたりの発熱率。FEMの熱解析ソルバーは基本的にこの方程式を離散化して解いているんだ。

そのとおり。式は非常にシンプルだ：

$$q = h (T_s - T_\infty)$$

$T_s$ は固体表面の温度、$T_\infty$ は十分遠方の流体温度、$h$ は熱伝達係数（W/(m²·K)）だ。ただし、このシンプルさの裏側に $h$ の決定という大問題が隠れている。

$h$ は流体の種類、流速、形状、流れの状態によって桁違いに変わる。大まかな目安を挙げると：

• 空気の自然対流：5〜25 W/(m²·K)
• 空気の強制対流：25〜250 W/(m²·K)
• 水の強制対流：100〜20,000 W/(m²·K)
• 沸騰水：2,500〜100,000 W/(m²·K)

実務ではNusselt数の経験的相関式を使うか、CFDで直接計算するかのどちらかだ。

Nusselt数は対流熱伝達の効率を表す無次元数で、$\mathrm{Nu} = hL/k_f$ だ。$k_f$ は流体の熱伝導率。ざっくり言うと「対流がないときの伝導に比べて、対流があると何倍効率よく熱が伝わるか」を示す。Nu=1なら対流の効果ゼロ、Nu=100なら対流のおかげで100倍の熱が移動しているということだ。

黒体（理想的な放射体）からの全放射エネルギーは：

$$E_b = \sigma T^4$$

$\sigma = 5.67 \times 10^{-8}$ W/(m²·K⁴) がステファン・ボルツマン定数。実在の表面では放射率 $\varepsilon$（0〜1）が掛かるから：

$$E = \varepsilon \sigma T^4$$

注目すべきは温度の4乗に比例するところ。温度が2倍になると放射は16倍になる。だから高温になればなるほど放射の影響が支配的になるんだ。

2つの面の間の正味放射熱交換は：

$$q_{12} = \varepsilon \sigma F_{12} A_1 (T_1^4 - T_2^4)$$

$F_{12}$ がビュー係数（形態係数）で、面1から出た放射のうち面2に到達する割合だ。CAEではこのビュー係数の計算が結構面倒で、複雑な形状だとモンテカルロ法で数値的に求めることが多い。鋳造の金型冷却や宇宙機の熱設計では放射の正確なモデリングが必須だよ。

そのとおり。人工衛星の熱設計は放射が主役。太陽に面した側は灼熱で反対側は極低温になるから、ヒートパイプと放射パネルで温度を均一化する。これは典型的な放射支配の伝熱問題だね。

それが共役熱伝達（Conjugate Heat Transfer, CHT）と呼ばれるアプローチだ。固体領域は熱伝導方程式、流体領域はNavier-Stokes＋エネルギー方程式を同時に解いて、界面で温度と熱流束の連続条件を満たす：

$$T_{\text{solid}} = T_{\text{fluid}} \quad \text{（温度連続）}$$ $$-k_s \frac{\partial T}{\partial n}\bigg|_{\text{solid}} = -k_f \frac{\partial T}{\partial n}\bigg|_{\text{fluid}} \quad \text{（熱流束連続）}$$

$h$ を仮定する必要がないから、複雑な流れ場でも精度が高い。

確かにコストは高い。だから使い分けが大事だ。単純な平板の冷却なら経験式で $h$ を決めて熱伝導解析だけでも十分。でもガスタービンブレードの冷却設計やエンジンの排気マニホールドみたいに、流れと温度が強く結合する問題ではCHTが必須になる。AnsysのFluent、STAR-CCM+、OpenFOAMのchtMultiRegionFoamあたりが定番のCHTソルバーだよ。

最初にやるべきは「この問題で支配的な伝熱メカニズムはどれか？」を見極めることだ。判断の目安として無次元数が役立つ：

• ビオ数 $\mathrm{Bi} = hL/k_s$ → 固体内の温度勾配を無視できるか判定
• フーリエ数 $\mathrm{Fo} = \alpha t / L^2$ → 非定常問題の時間スケール把握
• Nusselt数 $\mathrm{Nu}$ → 対流の強さの定量化

Bi < 0.1 なら固体内の温度は均一とみなせるから集中容量法で簡単に解ける。Bi が大きいなら内部の温度分布をちゃんとFEMで解かないといけない。

そう。温度変化があると材料は膨張・収縮するから、そこに拘束があれば熱応力が発生する。まず熱解析で温度分布を求めて、その温度場を構造解析にマッピングして応力を計算する。これを弱連成（one-way coupling）と呼ぶ。逆に変形が温度場に影響するケース（例えば接触面のギャップ変化で接触熱抵抗が変わる場合）は強連成（two-way coupling）が必要になる。エンジンのシリンダーヘッドのガスケット設計なんかが典型的な強連成問題だ。