不確かさの伝播とは何ですか？

材料の特性、荷重、寸法などの入力のばらつきが、解析結果（応力、たわみ、温度など）にどれだけのばらつきとして現れるかを求めることです。順方向UQとも呼ばれます。代表的な方法に、感度から1次近似で求める方法（FOSM）と、入力を乱数で振って何度も計算するモンテカルロ法があります。

1次近似とモンテカルロ法はどう使い分けますか？

1次近似は計算が1回＋感度だけで済み、平均や標準偏差を求めるには十分なことが多いです。例では標準偏差が3.17 mmで、モンテカルロ法の3.20 mmとほぼ一致しました。一方、許容値を超える確率のような分布の端の値は、応答の非対称（ゆがみ）の影響を受け、例では1次近似5.8%、モンテカルロ法6.9%とずれました。

モンテカルロ法は何回計算すればよいですか？

推定したい量で変わります。例では標準偏差は1,000回で±0.07 mmと十分な精度でしたが、7%程度の超過確率は100回では±2.4%（相対で±34%）ぶれ、1万回で±0.27%になりました。ラテン超方格法はばらつきを約2割減らせます。確率が小さいほど多くの回数が必要です。

不確かさ伝播（Forward UQ）

カテゴリ: V&V・不確かさの定量化 | 2026-10-01 改稿

CAE visualization for uq propagation theory - technical simulation diagram

不確かさ伝播（Forward UQ）

理論：入力のばらつきを出力へ運ぶ

概要

🙋

解析の入力にはばらつきがあるのに、結果は1つの値しか出していません。どうやって幅を示せばいいですか？

🎓

それが不確かさの伝播、順方向のUQだよ。材料の特性や荷重、寸法のばらつきを確率分布で表して、それが結果にどれだけのばらつきを生むかを求める。簡単な方法は、各入力に対する結果の感度を求めて、1次近似で足し合わせるやり方（FOSM）。もう一つは、入力を乱数で何百回、何千回と振って、結果の分布をそのまま作るモンテカルロ法だ。どちらを使うかは、平均やばらつきを知りたいのか、許容値を超える確率を知りたいのかで変わる。

1次近似（FOSM）

$$ \sigma_y^2 \approx \sum_i \left(\frac{\partial y}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_{x_i}^2, \qquad \delta = \frac{P L^3}{3 E I},\ \ I = \frac{b h^3}{12} \ \Rightarrow\ \left(\frac{\sigma_\delta}{\delta}\right)^2 \approx c_P^2 + c_E^2 + (3c_h)^2 $$

入力が独立なら、出力の分散は感度の2乗×入力の分散の和で近似できる。片持ちはりのたわみでは、荷重・ヤング率・板厚の変動係数 $c$ から、たわみの変動係数が求まる。板厚は3乗で効くので、係数が3倍になる。

モンテカルロ法

$$ \hat p = \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N} \mathbb{1}\left[\delta_k > \delta_{lim}\right], \qquad \mathrm{SE}(\hat p) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{N}} $$

超過確率の推定値のばらつき（標準誤差）は、回数 $N$ の平方根に反比例する。確率が小さいほど、同じ相対精度を得るのに多くの回数が要る。

Coffee Break よもやま話

モンテカルロという名前

モンテカルロ法は、1940年代のアメリカのロスアラモス研究所で、ウラムとフォン・ノイマンらが中性子の拡散を計算するために考えた。ウラムは病気の療養中にトランプの一人遊びの成功確率を考え、式で解くより何度も試すほうが早いと気づいたという。名前はウラムのおじが通ったというモナコのカジノにちなむ。初期の電子計算機ENIACで実行され、いまでは不確かさの伝播のほか、放射線の輸送、金融、統計物理などで広く使われている。

計算例：片持ちはりのたわみ

長さ1 m、幅50 mmの片持ちはり。荷重500 N（変動係数10%）、ヤング率200 GPa（5%）、板厚20 mm（2%）をいずれも正規分布とし、先端のたわみ（公称25.0 mm）と、許容値30 mmを超える確率を求めた。

方法	平均	標準偏差	30 mmを超える確率
1次近似（FOSM）	25.00 mm	3.17 mm	5.75%
モンテカルロ法（100万回）	25.12 mm	3.20 mm	6.91%

分散への寄与は荷重62%、板厚22%、ヤング率16%。板厚は変動係数が2%と小さくても、3乗で効くため2番目に大きい。

🙋

標準偏差はほぼ同じなのに、超える確率は2割も違うんですね。

🎓

たわみは板厚の3乗やヤング率に反比例するから、分布が右に少し長く伸びた形（ゆがみ0.25）になる。1次近似は正規分布を仮定するので、右の裾を短く見積もってしまうんだ。平均も0.5%ずれている。ばらつきの大きさを知るには1次近似で十分でも、壊れる確率のような裾の値を知るには、モンテカルロ法やもっと高次の方法が要る。特に確率が1%より小さいときは差が大きくなりやすい。

例2：サンプル数とばらつき

同じ計算を200回くり返し、推定値のばらつき（1σ）を求めた。

回数	標準偏差の推定（MC）	超過確率（MC）	超過確率（LHS）
100	3.19 ± 0.23 mm	7.2 ± 2.4%	6.9 ± 1.9%
1,000	3.20 ± 0.07 mm	6.9 ± 0.8%	7.0 ± 0.7%
10,000	3.20 ± 0.02 mm	6.9 ± 0.27%	7.0 ± 0.20%

解析の進め方

ばらつく入力を選び、分布の形と大きさを試験データや規格から決める。
1次近似で感度と分散への寄与を求め、重要な入力を絞り込む。
超過確率などの裾が必要なら、モンテカルロ法やラテン超方格法で分布を作る。
解析が重いときは、代理モデル（多項式カオス、クリギング）を作ってから大量に評価する。
推定値のばらつきも報告する（回数による誤差）。

Coffee Break よもやま話

「100回で十分と思った」

部品の強度を100回のモンテカルロ計算で評価し、破損確率は0%と報告した——という例がある。ところが1万回で計算し直すと、確率は0.3%だった。100回では、0.3%の事象は平均0.3回しか起きないので、0回になるのが普通だ。回数で割り算した確率の推定は、事象が数十回起きるくらいの回数がないと信用できない。小さな確率を扱うなら、回数を増やすか、重要度サンプリングのような工夫が要る。

よくある間違い

間違いと対策

間違い	起きること	対策
1次近似で裾の確率を求める	確率を過小評価	モンテカルロ法などで確認
回数が少ない	小さな確率が0になる	事象が数十回起きる回数に
入力の相関を無視	ばらつきを誤る	相関を入れてサンプリング
分布の形を根拠なく決める	裾の確率が大きく変わる	データから分布を選ぶ
推定値の誤差を報告しない	結果を過信する	信頼区間を示す

🙋

関連する内容も知りたいです。

🎓

不確かさの伝播の計算とモンテカルロ統計のシミュレーターで試せるよ。関連する方法はラテン超方格法、Sobol感度解析、多項式カオス展開、クリギング代理モデル、不確かさの種類は認識論的・偶然的不確かさが参考になる。

不確かさ伝播（Forward UQ）

理論：入力のばらつきを出力へ運ぶ

概要

1次近似（FOSM）

モンテカルロ法

モンテカルロという名前

計算例：片持ちはりのたわみ

例2：サンプル数とばらつき

解析の進め方

「100回で十分と思った」

よくある間違い

間違いと対策

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