超级电容器建模
理论：在表面排列离子来储电
概述
超级电容器在什么场合代替电池使用？
用于短时间内大功率充放电的场合。双电层电容器把布满细孔的碳电极浸在电解液中，在电极表面排列离子来储电。不伴随化学反应，几秒就能充放电，可重复数十万次。所以适合暂存起重机、公交车制动回收的能量，或在停电瞬间支撑电源。但储存能量远小于同重量的电池。建模要看储存能量、内阻引起的损耗和发热、孔深处能否用上、串联时的电压离散。
能量、功率与时间常数
R_ESR为单体内阻（等效串联电阻）。本例C = 3000 F、V = 2.7 V、R_ESR = 0.29 mΩ。P_max是负载电阻等于内阻时的最大功率，此时效率为50%。
细孔传输线模型
R_s为电解液和集流体电阻（0.19 mΩ），R_p为孔内离子电阻（0.30 mΩ）。直流时R_s + R_p/3等于内阻0.29 mΩ。把细孔表示为电阻和电容的梯形网络，是德·莱维为多孔电极导出的形式。
从亥姆霍兹层开始
1853年亥姆霍兹提出电极与电解液交界处电荷排成两层的观点。把它做成储电元件的是通用电气的贝克尔，他于1957年申请了使用多孔碳的电容器专利。高比表面积的碳每克表面积超过1000 m²，电容比普通电容器高出几个数量级。此后从存储器备用电源起步，如今已用于车辆和电力领域。
算例
例1：3000 F单体
| 项目 | 数值 |
|---|---|
| 储存能量 | 10,935 J（3.04 Wh） |
| 用到半电压时的能量 | 75% |
| 最大功率 | 6,284 W |
| 时间常数 | 0.87 s |
| 以1 kW放到半电压 | 7.53秒（无损耗时8.20秒） |
| 其间的电阻损耗 | 670 J |
恒功率放电时随电压下降电流增大，最后达924 A。损耗与电流平方成正比，集中在放电末期。
例2：频率与可用电容
| 频率 | 可用电容 | 比例 | 电阻 |
|---|---|---|---|
| 0.01 Hz | 3,000 F | 100% | 0.290 mΩ |
| 0.1 Hz | 2,979 F | 99% | 0.290 mΩ |
| 1 Hz | 1,939 F | 65% | 0.275 mΩ |
| 10 Hz | 564 F | 19% | 0.218 mΩ |
例3：18个串联与电容离散
| 项目 | 数值 |
|---|---|
| 模组电压 | 48.6 V |
| 模组电容 | 167 F |
| 模组能量 | 54.7 Wh |
| 普通单体电压 | 2.683 V |
| 电容小10%的单体电压 | 2.982 V |
只有一个到2.98 V，其他都是2.68 V有余量，不就没问题吗？
并非如此。双电层电容器的电压上限由电解液开始分解的电压决定，超过后产生气体，内压升高，劣化急剧加快。劣化使电容下降，下次充电该单体电压更高。也就是越弱的单体损坏越快、变得更弱的恶性循环。而且内阻也增加，发热变大，温度升高劣化更快。所以串联模组要加均衡电路，测量各单体电压，让电压高的单体放电。设计时要计入单体电容和内阻的离散、模组内的温度分布，计算哪个单体最先达到上限。
建模流程
- 由阻抗测量拟合内阻和孔内电阻。
- 用实际电流波形计算放电，确认可用电容。
- 由电阻损耗求发热，求解模组温度分布。
- 计入单体离散，求串联电压分布。
- 由温度和电压估算寿命，确定均衡电路和冷却。
“比样本更快放空的再生装置”
某起重机的再生装置中，电容器模组储存的能量比计算更早耗尽，电压达到下限。计算用的是样本上的电容（直流测得的值），而实际负载在1秒左右大幅变动。用细孔模型输入实际电流波形重新计算，可用电容约小2成，与实测一致。增加模组串联数使电压有余量后问题解决。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 使用直流电容 | 快速负载时能量高估 | 细孔模型 |
| 假设可用到0 V | 变换器无法工作 | 按下限电压计算 |
| 串联时忽略离散 | 部分单体过电压 | 均衡电路 |
| 按平均电流算发热 | 发热低估 | 按有效值电流计算 |
| 温度取常数 | 寿命高估 | 与热耦合 |
我想了解相关内容。