温度分层解析
理论：浮力抑制混合
概述
我以为储热水箱里的热水是充分混合的，不是吗？
设计良好的水箱中，上部是热水、下部是冷水，中间形成温度急剧变化的薄层（温跃层）。热水较轻，靠浮力停留在上部，不易混合。用热水时从上部流出热水，从下部进入冷水，分界面就这样上移。能否保持这种分层，决定了同一水箱能提供多少热水。我们用数值确认。
一维模型
$u$ 为取水引起的上升速度，$D_{eff}$ 为竖向有效扩散系数。理想分层时只有水的热扩散率 $\alpha$，但进水冲力、沿壁传热和对流混合会增加 $D_{mix}$。
破坏与保护分层的力
理查森数 $Ri$ 是浮力（密度差）与进水冲力之比，大于1时浮力占优，分层得以保持。即使不受扰动，仅靠导热温跃层厚度 $\delta$ 也按时间平方根增大。
湖泊的夏季分层
自然界中温度分层以湖泊最为人熟知。夏季湖泊分为被日照晒暖的轻表层和冷而重的深层，中间形成温跃层。深层不与表层混合，得不到氧气补充，鱼有时无法生存。秋季表层变冷变重，上下一下子发生“全翻转”。工程上的储热水箱和蓄热槽正是主动利用这一自然机制来储热。
算例：200 L储热水箱
高1.5 m，初始全部为60℃。从上部每分钟取10 L，下部进入15℃的水（20分钟一箱）。比较以45℃以上流出的热水量占水箱容积的比例。储存热量为10.4 kWh。
混合强度与可用热水
| 竖向混合 | 45℃以上可用量 |
|---|---|
| 仅导热（α） | 99.5% |
| α的10倍 | 98.3% |
| α的100倍 | 94.8% |
| α的1000倍 | 85.7% |
| 完全混合 | 40.5% |
静置时温跃层的扩展
| 静置时间 | 温跃层厚度（10%～90%） |
|---|---|
| 1 小时 | 8 cm |
| 6 小时 | 21 cm |
| 24 小时 | 41 cm |
进水口形式与理查森数
| 进水口 | 流入速度 | Ri |
|---|---|---|
| 直径15 mm管 | 0.94 m/s | 0.003 |
| 直径100 mm扩散器（横向） | 0.053 m/s | 5.6 |
储存的热量相同，一旦混合可用热水就减到一半以下。
完全混合时，整个水箱被冷水逐渐稀释，放出容积的四成后就低于45℃。分层时冷水积在底部，上部60℃的热水几乎到最后都不被稀释。能量总量相同，但可用温度下还剩多少热（㶲）不同。破坏分层的首要原因是进水冲力：从细管猛冲进来时理查森数只有0.003，会把底部冷水与周围搅混。用扩散器把流速降到约十八分之一，Ri变为5.6，冷水就平静地在底部铺开。
分析要点
- 竖向加密网格以解析温跃层（温跃层内10个点以上）。
- 数值扩散可能使分层看起来被破坏，要用高阶对流项格式。
- 湍流模型要用考虑浮力抑制湍流的；标准k-ε容易高估混合。
- 考虑壁面导热和对周围的热损失，金属壁是上下传热的捷径。
- 按实物建模进出水口，分层好坏由此决定。
“加大容量热水还是不够”
某设施热水不足的投诉不断，换了更大的储热水箱，改善却不如预期。调查发现，冷水从底部细管猛冲进来，水箱下半部一直被搅动，几乎没有形成分层。只在进水口装上扩散器让水流横向铺开，同一水箱以45℃以上流出的热水量就大幅增加。决定性能的不是水箱大小，而是箱内温度的分层情况。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 按完全混合计算水箱 | 低估可用量 | 考虑分层 |
| 竖向网格粗 | 温跃层看起来变宽 | 加密温跃层 |
| 一阶迎风格式 | 数值扩散 | 高阶格式 |
| 忽略浮力对湍流的影响 | 高估混合 | 加入浮力项 |
| 简化进水口 | 漏掉分层破坏 | 按实际形状求解 |
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