超导体的交流损失
理论：磁通每次进出损失的能量
概述
超导电缆电阻为零，但听说通交流时冷却很困难。为什么？
直流时损耗确实为零。但交流时电流方向和大小每次变化，磁通都会从超导体表面进出。超导体内的磁通被缺陷等“钉扎”，运动时损失能量——这就是交流损耗，一种磁滞损耗。每周期损耗与频率无关，50 Hz时每秒损失50次。而把这些热量从液氮温度下排出，要花费数倍于损耗本身的电力。
Norris公式
每周期单位长度的传输损耗（J/m）。$I_c$ 为临界电流，$F$ 为电流峰值与临界电流之比。薄带（如REBCO高温超导带材）用上式，椭圆截面导线用下式。均基于临界态（Bean）模型。
损耗功率与频率 $f$ 成正比。把77 K产生的热排到300 K，即使理想卡诺制冷机也需要损耗2.9倍的电力。
Norris公式与高温超导
Norris公式是英国的Norris在1970年用临界态模型解析求得椭圆截面和薄带超导体传输损耗的结果。当时是用液氦冷却的金属系超导体时代，交流应用有限。1986年发现高温超导体、可以用液氮冷却后，输电电缆、变压器、限流器等交流设备的应用一下子变得现实。如今薄带材已成主流，Norris公式仍是估算交流损耗和与测量比较的基准。
算例：临界电流100 A的导线
求临界电流100 A（77 K、自场）的导线通50 Hz交流时的损耗（W/m）：
| 电流峰值（F） | 薄带 | 椭圆截面 | 椭圆／薄带 |
|---|---|---|---|
| 10 A (0.1) | 3.4×10⁻⁶ | 3.5×10⁻⁵ | 10.5 |
| 30 A (0.3) | 2.8×10⁻⁴ | 1.1×10⁻³ | 3.8 |
| 50 A (0.5) | 2.3×10⁻³ | 5.7×10⁻³ | 2.4 |
| 70 A (0.7) | 1.0×10⁻² | 1.9×10⁻² | 1.8 |
| 90 A (0.9) | 3.6×10⁻² | 5.3×10⁻² | 1.5 |
小电流时，椭圆导线的损耗是薄带的10倍？
对。薄带的损耗约按电流四次方增长，椭圆约按三次方，小电流时四次方要小得多——磁通从薄带边缘进入的方式与椭圆不同。反过来说，薄带在接近临界电流时损耗急剧增加：从50 A提高40%到70 A，损耗变为4.4倍。电缆设计中，运行电流占临界电流的比例对损耗影响很大。
例2：输电电缆的制冷负担
1 km三相电缆每相用20根带材（各50 A峰值，F = 0.5），每相有效电流707 A：
| 项目 | 值 |
|---|---|
| 77 K交流损耗 | 139 W |
| 制冷电力（卡诺效率） | 404 W |
| 制冷电力（实际制冷机10～20倍） | 1.4–2.8 kW |
| F = 0.7时的损耗 | 611 W（4.4倍） |
这些值是用单根带材孤立放置的公式估算的；实际电缆中还要加上带材间磁场的相互影响、外部磁场引起的磁化损耗、金属稳定层的涡流损耗以及绝热管的漏热。
分析步骤
- 准备导线临界电流随工作温度和磁场（大小与方向）的函数。
- 用Norris公式估算传输损耗，确定运行电流占临界电流的比例。
- 包括带材布置，用H法或T-A法等有限元分析求包括磁化损耗在内的损耗。
- 加上稳定层涡流损耗和绝热管漏热，确定制冷负荷。
- 与测量（电学法、量热法）比较。
“损耗是计算的数倍”
试制超导线圈的交流损耗测量值是Norris公式估算的数倍。Norris公式是单根带材通电时的传输损耗，而线圈中其他匝产生的磁场垂直作用于带面。薄带对垂直磁场非常敏感，这部分磁化损耗远大于传输损耗。用有限元分析计入整个线圈的磁场重新计算后，与测量吻合良好。线圈和电缆中必须考虑其他电流产生的磁场。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 只估算传输损耗 | 漏掉磁化损耗 | 计入外部与相邻磁场 |
| 临界电流取常数 | 低估损耗 | 考虑磁场和角度依赖 |
| 直接比较损耗功率 | 误判制冷负担 | 按制冷机效率换算 |
| 在临界电流附近运行 | 损耗急剧增加 | 运行比例留有裕量 |
| 忽略稳定层涡流 | 频率高时损耗增加 | 把金属层纳入分析 |
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