微流体力学
理论与物理
微流体力学基础
老师，微流体力学和宏观流体力学有什么区别？仅仅是尺度小吗？
尺度的变化会改变物理的“统治者”。在宏观尺度，惯性力占主导；而在微观尺度（特征长度 $L \sim 1\text{--}100\,\mu\text{m}$），粘性力和表面张力则成为主导。
让我们用具体数值来比较。水流速度 $U = 1\,\text{mm/s}$，通道宽度 $D = 100\,\mu\text{m}$ 的情况：
由于 Re << 1，惯性力可以忽略，斯托克斯流（蠕动流）占主导。
Re = 0.1 的话，完全是粘性主导呢。完全不用担心湍流。
没错。再来看表示表面张力重要性的毛细数（Capillary number）：
由于 Ca << 1，液滴/气泡的形状由表面张力决定。
斯托克斯方程
在 Re << 1 的极限下，纳维-斯托克斯方程中的惯性项消失，得到斯托克斯方程。
斯托克斯方程具有以下重要性质：
- 线性：解可以叠加
- 时间可逆：外力反向则流体回到原状态（这是混合困难的原因）
- 瞬时响应：没有惯性，压力变化瞬间传递到整个区域
时间可逆，意思是说在微观尺度下即使搅拌也不会混合吗？
用常规方法无法混合。这就是微混合器设计困难的原因。只能依赖扩散，或者利用混沌对流（例如流道的锯齿形结构等）。
微流体特有的物理
我们来整理一下在微观尺度下变得重要的物理现象。
| 现象 | 主导参数 | 宏观下的影响 | 微观下的影响 |
|---|---|---|---|
| 表面张力 | Ca, We, Bo | 通常忽略 | 主导 |
| 电渗流 (EOF) | $\zeta$ 电位、Debye长度 | 忽略 | 作为驱动力利用 |
| 滑移流 | Knudsen数 Kn | 无滑移 | Kn > 0.01 时出现滑移 |
| 扩散混合 | 佩克莱数 Pe | 对流主导 | 扩散主导 |
| 接触角滞后 | 前进/后退接触角 | 不重要 | 支配器件动作 |
邦德数 $\text{Bo} = \rho g L^2 / \sigma$ 在微观尺度下也变得非常小（$L = 100\,\mu\text{m}$ 时 $\text{Bo} \sim 10^{-6}$）。这意味着重力完全可以忽略，在太空和地面上的行为是一样的。
重力不起作用有点反直觉，但这就是尺度效应啊。
微流体工程的诞生——1990年代的μTAS革命与芯片实验室
微流体工程（Microfluidics）的黎明期始于1990年代初，当时瑞士ETH的Manz & Widmer(1990)提出了“μTAS（微型全分析系统）”的概念。利用半导体制造技术（光刻）在玻璃基板上制作宽度数十至数百微米的流道，在芯片上完成试剂的混合、分离、检测，这就是“芯片实验室（Lab-on-Chip）”的概念。在这个流道尺度下，雷诺数小于1的斯托克斯流占主导，无法使用湍流混合，因此需要T型或螺旋型的被动混合结构。如今，这项技术被应用于COVID-19快速诊断试剂盒和DNA测序仪的微通道中，基于CFD的通道设计优化已成为产品开发的核心。
各项的物理意义
- 时间项 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：请想象一下打开水龙头的瞬间。最初水流会不稳定地喷溅，过一会儿才会变成稳定的水流，对吧？描述这个“变化过程中”的就是时间项。心脏搏动导致血流脉动，发动机阀门每次开闭引起流动变化，这些都是非定常现象。那么定常分析是什么？就是只观察“经过足够时间流动稳定之后”——也就是将此项设为零。计算成本会大幅下降，因此先用定常求解是CFD的基本策略。
- 对流项 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：把落叶扔进河里会怎样？会被水流带着向下游移动，对吧？这就是“对流”——流体的运动搬运物体的效果。暖风的暖气能到达房间的另一端，也是因为空气这个“搬运工”通过对流输送热量。这里有个有趣的地方——这项包含了“速度×速度”，因此是非线性的。也就是说，流速变快时此项会急剧增强，变得难以控制。这就是湍流的根本原因。常见的误解：“对流和传导差不多吧？”→ 完全不一样！对流是流动搬运，传导是分子传递。效率有天壤之别。
- 扩散项 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：有过在咖啡里倒入牛奶后放置不管的经历吗？即使不搅拌，过一会儿也会自然混合。那就是分子扩散。那么下一个问题——蜂蜜和水，哪个更容易流动？当然是水，对吧？因为蜂蜜的粘度（$\mu$）高，所以不易流动。粘度越大，扩散项越强，流体的运动就变得“粘稠”。雷诺数小的流动（缓慢、粘稠）中扩散占主导。相反，Re数大的流动中，对流占压倒性优势，扩散则成为配角。
- 压力项 $-\nabla p$：按下注射器的活塞，液体就会从针头有力地射出，对吧？为什么？因为活塞侧压力高，针头侧压力低——这个压力差产生了推动流体的力。大坝放水也是同样的原理。天气图上等压线密集的地方会怎样？没错，会刮强风。“有压力差的地方就会产生流动”——这就是纳维-斯托克斯方程压力项的物理意义。这里容易误解的点：CFD中的“压力”通常指表压而非绝对压力。切换到可压缩分析后结果突然变得奇怪，原因可能就是混淆了绝对压力/表压。
- 源项 $S_\phi$：被加热的空气会上升——为什么？因为比周围空气轻（密度低），被浮力推上去了。这个浮力作为源项添加到方程中。此外，燃气灶火焰产生化学反应热，工厂电磁泵对金属熔液施加洛伦兹力……这些都是“从外部向流体注入能量或力”的作用，都用源项表示。忘记源项会怎样？自然对流分析中忘记加入浮力，流体就完全不动——就像冬天房间里开了暖气，暖空气却不上浮一样，得到物理上不可能的结果。
假设条件与适用范围
- 连续介质假设：克努森数 Kn < 0.01（分子平均自由程 ≪ 特征长度）时成立
- 牛顿流体假设：剪切应力与应变速率呈线性关系（非牛顿流体需要粘度模型）
- 不可压缩假设（Ma < 0.3时）：将密度视为常数。马赫数0.3以上需考虑可压缩性效应
- 布西内斯克近似（自然对流）：仅在浮力项中考虑密度变化，其他项使用恒定密度
- 不适用的情形：稀薄气体（Kn > 0.1）、超音速/高超音速流动（需要捕捉激波）、自由表面流动（需要VOF/Level Set等方法）
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 速度 $u$ | m/s | 入口条件中从体积流量换算时，注意截面面积的单位 |
| 压力 $p$ | Pa | 区分表压和绝对压力。可压缩分析中使用绝对压力 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | 空气：约1.225 kg/m³@20°C，水：约998 kg/m³@20°C |
| 粘度系数 $\mu$ | Pa·s | 注意与运动粘度系数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] 混淆 |
| 雷诺数 $Re$ | 无量纲 | $Re = \rho u L / \mu$。层流/湍流转捩的判断指标 |
| CFL数 | 无量纲 | $CFL = u \Delta t / \Delta x$。直接关系到时间步长的稳定性 |
数值解法与实现
微流体的CFD方法
微流体的模拟，能用普通的CFD求解器吗？
在连续介质近似成立的范围内（Kn < 0.01），可以使用基于纳维-斯托克斯方程的常规CFD。但是，存在微观尺度特有的数值问题。
两相流（液滴·气泡）的界面追踪
微流体器件中经常出现液滴生成或T型汇流。我们来比较一下界面追踪的主要方法。
| 方法 | 优点 | 缺点 | 应用实例 |
|---|---|---|---|
| VOF (流体体积法) | 质量守恒良好、成本低 | 界面扩散、接触线问题 | 液滴生成、弹状流 |
| Level-Set (水平集法) | 界面形状平滑 | 质量不守恒 | 汇流、分裂 |
| CLSVOF | 结合VOF+LS的优点 | 实现复杂 | 需要高精度的问题 |
| Phase-Field (相场法) | 能自然描述接触线 | 网格要求严格 | 润湿现象、接触角控制 |
| Front-Tracking (前沿追踪法) | 界面显式追踪 | 拓扑变化适应性弱 | 单一液滴变形 |
表面张力的数值计算通常采用CSF（连续表面力）模型，但在微观尺度下，寄生电流（spurious current）会成为问题。这是由于表面张力离散化引起的非物理流动，Ca 越小越明显。
表面张力很大但网格很粗的话，就会产生非物理的流动呢。
对策包括：
- 确保界面附近至少有10个网格单元的分辨率
- 使用Height Function法计算曲率（精度比CSF大幅提高）
- Sharp Surface Force法
- 使用相场模型（通过界面的热力学描述来减少寄生电流）
电渗流（EOF）的计算
微通道中常使用电场驱动流体的电渗流。控制方程为：
$\rho_e$ 是电荷密度，$\varepsilon$ 是介电常数，$\mathbf{E} = -\nabla\phi$ 是电场。需要解析德拜长度 $\lambda_D \sim 1\text{--}100\,\text{nm}$ 的区域，因此要求非常精细的网格。
德拜长度是纳米量级的话，网格尺度和整个流道差了3个数量级以上呢。
是的。在实际应用中，常采用Helmholtz-Smoluchowski滑移速度条件：
作为壁面边界条件，而不解析EDL（双电层）内部。$\zeta$ 是Zeta电位，$E_t$ 是壁面切向电场。
微流道的“毛细管力”——表面张力主导而非重力的世界
当通道宽度降至100μm以下时，重力不再是支配流动的力。取而代之，表面张力成为主角，毛细管压力 ΔP=4γcosθ/D（D为通道直径）将液体吸入。实际上，在疾病诊断用的纸基微流体（paper-based microfluidics）中，血液无需泵就能依靠毛细管力流动。要在数值上处理这一点，需要将常规的NavierStokes方程与“VOF法”或“格子玻尔兹曼法”结合来追踪气液界面，方法的选择会极大地影响结果的精度。
迎风格式（Upwind）
一阶迎风：数值扩散大但稳定。二阶迎风：精度提高但有振荡风险。高雷诺数流动中必不可少。
中心差分（Central Differencing）
二阶精度，但当Pe数 > 2时会产生数值振荡。适用于低雷诺数的扩散主导流动。
TVD格式（MUSCL、QUICK等）
通过限制器函数抑制数值振荡同时保持高精度。对捕捉激波或陡峭梯度有效。
有限体积法 vs 有限元法
FVM：自然地满足守恒定律。CFD的主流。FEM：对复杂形状、多物理场有利。SPH等无网格法也在发展中。
CFL条件（库朗数）
显式方法：CFL ≤ 1 是稳定条件。隐式方法：即使 CFL > 1 也稳定，但影响精度和迭代次数。LES：推荐 CFL ≈ 1。物理意义：在一个时间步长内，信息传播不超过一个网格单元。
残差监控
连续性方程、动量、能量的各项残差下降3~4个数量级即可判断为收敛。质量守恒的残差尤其重要。
松弛因子
压力：0.2~0.3，速度：0.5~0.7 是常见的初始值
なった
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