応力波伝播解析
理论与物理
什么是应力波传播
老师，什么是“应力波”？
当结构受到冲击时，应力（变形）会像波一样在材料内部传播。这种波就是应力波。它以声速 $c = \sqrt{E/\rho}$ 传播。
弹性波的种类
| 波的类型 | 速度 | 特征 |
|---|---|---|
| 纵波（P波） | $c_L = \sqrt{(\lambda+2\mu)/\rho}$ | 沿压缩/拉伸方向传播 |
| 横波（S波） | $c_S = \sqrt{\mu/\rho}$ | 沿剪切方向传播。$c_S < c_L$ |
| 瑞利波 | $\approx 0.9 c_S$ | 沿表面传播。地震中的S波 |
| 兰姆波 | 色散的 | 在薄板中传播。取决于板厚和频率 |
钢的纵波速度大约是 $c_L \approx 5900$ m/s，对吧。
到达1米远的地方需要 $0.17$ ms。在冲击分析中，波的传播时间决定了结构的响应时间。
FEM中的应力波分析
精确追踪应力波的网格要求：
$n_{ppw}$ 是每个波长内的单元数。线性单元建议为20，二次单元建议为10。
每个波长20个单元！要追踪高频波需要非常精细的网格呢。
所以应力波传播是显式FEM的擅长领域。因为 $\Delta t$ 会自动根据波的传播而变小，从而自然地确保了波的采样。
应用实例
总结
要点：
- 应力波以声速传播 — $c = \sqrt{E/\rho}$
- P波（纵）> S波（横）> 瑞利波（表面） — 速度顺序
- 网格要求严格 — 每个波长10~20个单元
- 显式FEM最优 — $\Delta t$ 自动适应波的追踪
- 霍普金森杆、超声波、地震波 — 主要应用
您知道弹性波有3种吗
在固体中传播的弹性波有纵波（P波：压缩/膨胀，钢中声速约5000m/s）、横波（S波：剪切，钢中约3000m/s）和表面波（瑞利波：在表面附近传播，钢中约2800m/s）3种。利用P波和S波的速度差计算震源距离是地震学的基础，1883年喀拉喀托火山喷发的声音波根据大气传播波计算得出绕地球3.5周。工业上则利用P波和S波进行超声波探伤检测材料内部缺陷。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体被向前甩出的经历吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，那是“因为缓慢施加力所以加速度可以忽略”的假设。冲击载荷或振动问题中绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时会感觉到“想要恢复的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——用相同的力拉铁棒和橡皮筋，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长性”就是杨氏模量 $E$，决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形性”，强度是“不易破坏性”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内容物上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“仅作用在表面的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力…全都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想“拉伸”却成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间坐标系旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦变成了热。汽车的减震器也是同样原理——故意吸收振动能量来改善乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，所以设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷·弹性模量也需统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢: 约210 GPa，铝: 约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中为tonne/mm³（钢为 = 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
LS-DYNA
```
*CONTROL_TIMESTEP
0.0, 0.6 $ 安全系数0.6（用于波传播。比通常的0.9小）
*CONTROL_TERMINATION
0.001 $ 1 ms（约为波的往返时间）
```
为什么要把安全系数降到0.6？
在应力波传播分析中，为了最小化数值色散（波速依赖于网格尺寸的现象），需要降低CFL条件的安全系数。使用0.9时数值色散可能会较大。
数值色散的问题
用FEM传播波时，波长越短速度越慢（数值色散）。物理上所有频率应以相同速度传播，但FEM的离散化导致速度依赖于波长。
对策：
谱元法
谱元法（Spectral Element Method）是使用高次GLL（Gauss-Lobatto-Legendre）点的单元法。比通常的FEM数值色散要小得多。是地震波传播模拟（如SPECFEM3D等）的标准方法。
总结
谱元法（Spectral Element Method）是使用高次GLL（Gauss-Lobatto-Legendre）点的单元法。比通常的FEM数值色散要小得多。是地震波传播模拟（如SPECFEM3D等）的标准方法。
用有限元法进行波动分析需要高密度网格
弹性波的FEM分析中，为确保精度，每个波长至少需要8~10个单元（经验法则）。例如，要准确捕捉钢材中100kHz超声波（波长50mm），需要5mm以下的单元。将其应用于1米长的试件整体，单元数将达到数百万至数千万，计算成本会爆炸性增长。因此在实际工作中，会结合对关注区域细化、远处粗化的渐变网格，以及在边界吸收反射的PML（完全匹配层）边界条件。
线性单元（1次单元）
节点间线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切锁定（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
2次单元（带中间节点）
可以表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2~3倍。推荐：应力评估很重要时使用。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（锁定）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能量模式）风险。根据情况选择。
自适应网格
基于误差指标（如ZZ估计量）的自动细化。高效提高应力集中区域的精度。有h法（单元分割）和p法（增加阶次）。
牛顿-拉弗森法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二次收敛性，但计算成本高。
修正牛顿-拉弗森法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔几次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度为线性。
收敛判定标准
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）可以超越载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是“用笔算精确解联立方程”的方法——可靠但大规模问题耗时过长。迭代法是“通过反复猜测逼近正确答案”的方法——最初答案粗糙，但每次迭代精度提高。就像查字典时，从第一页开始顺序查找（直接法）不如先估计位置翻开，再前后调整（迭代法）来得高效。
网格阶次与精度的关系
1次单元是“用直尺近似曲线”——用直线折线表现，精度有限。2次单元是“柔性曲线”——可以表现曲线变化，即使网格密度相同精度也大幅提高。不过，每个单元的计算成本增加，需要根据总体的成本效益来判断。
实践指南
霍普金森杆试验的模拟
SHPB（分离式霍普金森压杆）试验是获取材料高应变速率（$10^2 \sim 10^4$ /s）特性的试验。用FEM模拟入射杆→试件→透射杆的应力波传播，辅助试验数据的解读。
超声波NDT的模拟
用FEM模拟超声波探伤（UT）的波传播。根据来自裂纹的反射波模式，估计裂纹的尺寸和位置。FEM＋反问题分析的组合。
实务检查清单
“吸收边界条件”是什么？
防止波在模型边界反射回来的人工边界条件。代表性的有Lysmer-Kuhlemeyer（粘性边界）或PML（完全匹配层）。没有它就无法表现无限空间。
新干线钢轨焊接部的超声波检测中活用FEM
JR东日本为优化钢轨焊接部的超声波探伤检测系统，活用FEM波动解析。使用Abaqus/Explicit解析0.5〜5MHz超声波在钢轨截面传播时的模式转换·散射模式，通过优化探头的配置·角度，在2010年代大幅提高了传统手动探伤难以检测的焊接线附近缺陷的检出率。
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