連続体損傷力学（CDM）
理论与物理
CDM是什么
老师，连续损伤力学（CDM）是什么？
CDM（连续损伤力学）是一种用连续变量 $D$ 描述材料劣化（损伤）的理论。由Kachanov（1958）、Rabotnov（1968）提出。
$D = 0$ 表示完好，$D = 1$ 表示完全破坏。$\tilde{\sigma}$ 是有效应力。
CDM框架
应力-应变关系：
损伤演化法则（例如：蠕变损伤）：
损伤越发展，有效应力越高，损伤进一步加速的正反馈。
这种“连锁反应”导致最终破坏（$D \to 1$）。CDM为蠕变破坏、疲劳、延性破坏提供了统一的框架。
总结
Kachanov的1958年论文
连续损伤力学（CDM）的基石是L.M.Kachanov于1958年发表的仅8页的俄语论文《On the Creep Fracture Time》。他引入了“有效应力”的概念，用单一标量损伤变量ω表示微裂纹的累积。Kachanov当时在苏联受到冷遇，但1980年代后被介绍到西方，迅速引起关注，并由Lemaitre和Chaboche等人推动，最终形成了CDM体系。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体被向前甩出去的经历吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，这是假设“因为缓慢施加载荷，加速度可以忽略”。但在冲击载荷或振动问题中，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时能感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长”的特性就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形的程度”，强度是“不易破坏的程度”，这是两个不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（如重力）和表面力 $f_s$（如压力、接触力）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内部上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面上的力”（表面力）。风压、水压、螺栓预紧力……这些都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想施加“拉伸”却变成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系发生旋转时，确实会发生这种情况。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力和弦的内部摩擦转化成了热能。汽车的减震器也是同样原理——故意吸收振动能量来改善乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，所以设置合适的阻尼非常重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷·弹性模量也需统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中为tonne/mm³（钢为 = 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
CDM的FEM
Abaqus的复合材料Hashin损伤和延性损伤基于CDM。可通过用户子程序（UMAT/VUMAT）实现任意CDM模型。
总结
Lemaitre的损伤-塑性耦合模型
Jean Lemaitre出生于法国Chambon，他在1984年的论文《How to Use Damage Mechanics》中将Kachanov的一维理论扩展到三维弹塑性损伤力学。损伤被定义为各向同性标量D，通过用有效应力σ̃ = σ/(1−D)替换，可以轻松与现有塑性模型耦合。Lemaitre模型目前收录于法国的Code_Aster以及SYSTUS（ESI公司出品）的标准材料库中。
线性单元（一阶单元）
节点间线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切锁定（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
二阶单元（带中间节点）
可以表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2~3倍。推荐：应力评估很重要的情况。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（锁定）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能量模式）风险。根据情况选择合适的方法。
自适应网格
基于误差指标（如ZZ估计量）的自动细化。有效提高应力集中区域的精度。有h法（单元细分）和p法（增加阶次）两种。
牛顿-拉弗森法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二阶收敛性，但计算成本高。
修正牛顿-拉弗森法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔几次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度为线性。
收敛判定标准
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）可以超越载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是“用笔算精确解联立方程”的方法——可靠但大规模问题耗时过长。迭代法是“通过反复猜测逼近正确答案”的方法——最初答案粗糙，但每次迭代精度都会提高。就像查字典时，从第一页开始顺序查找（直接法）不如先估计位置翻开，再前后调整（迭代法）来得高效，原理相同。
网格阶次与精度的关系
一阶单元是“用直尺近似曲线”——用直线折线表现，精度有限。二阶单元是“柔性曲线”——可以表现曲线变化，即使网格密度相同，精度也显著提高。但是，每个单元的计算成本增加，因此需要根据总体的成本效益来判断。
实践指南
CDM实务
用于金属延性破坏（损伤指数）、复合材料渐进损伤、混凝土损伤塑性。
实务检查清单
在汽车碰撞分析中的应用
CDM在汽车碰撞安全（碰撞）分析中也扮演着重要角色。大众汽车公司从2000年代初期开始采用LS-DYNA的Gurson-Tvergaard-Needleman(GTN)模型与CDM相结合的钣金断裂预测，并将其应用于正面碰撞试验（Euro NCAP）中的乘员保护性能评估。据报道，引入CDM后，与传统的最大应变准则相比，对高强度钢（780 MPa级）的穿孔断裂预测精度提高了30%。
分析流程的比喻
分析流程其实和烹饪非常相似。首先采购食材（准备CAD模型），进行预处理（网格生成），开火烹饪（求解器执行），最后装盘（后处理可视化）。这里有个重要的问题——烹饪中最容易失败的工序是哪里？其实是“预处理”。网格质量差的话，无论使用多么优秀的求解器，结果都会一团糟。
初学者容易掉入的陷阱
您确认过网格收敛性吗？是不是认为“计算能运行=结果正确”？这其实是CAE初学者最容易掉入的陷阱。求解器一定会根据给定的网格返回“一个差不多的答案”。但如果网格太粗糙，这个答案就会与现实相差甚远。至少用三种网格密度确认结果是否稳定——如果忽略这一点，就会陷入“因为是计算机给出的答案，所以肯定正确”的危险误区。
边界条件的思考方式
边界条件的设置，和考试的“出题”是一样的。如果题目出错了呢？无论计算多么精确，答案都是错的。“这个面真的完全固定吗？”“这个载荷真的是均匀分布吗？”——正确建模现实的约束条件，其实往往是整个分析中最重要的步骤。
软件比较
CDM工具
SIMULIA Damage Mechanics的实现历史
CDM首次作为标准功能集成到Abaqus是在Abaqus 6.2（2001年），Lemaitre模型的简化版作为“Ductile Damage”实现。随后在6.14（2014年）增加了Gurson型空洞模型，从2019年开始随着品牌重塑为Abaqus 2019，也增加了与FLD（成形极限图）耦合的板材断裂模型。现在的Abaqus 2024中，可以选择5种延性损伤准则和3种剪切损伤准则。
选型时最重要的三个问题
- “要解决什么问题”：所需的物理模型·单元类型是否支持连续损伤力学（CDM）。例如，流体方面是否有LES支持，结构方面接触·大变形的支持能力会成为差异点。
- “谁来使用”：如果是初学者团队，适合GUI丰富的工具；如果是经验者，则适合脚本驱动的灵活工具。类似于汽车的自动挡（GUI）和手动挡（脚本）的区别。
- “未来要扩展到什么程度”：考虑到未来的分析规模扩大（HPC支持）、向其他部门扩展、与其他工具的联动，这样的选择有助于长期的成本削减。
尖端技术
CDM前沿
非局部化理论与网格依赖性消除
CDM伴随应变局部化，因此标准的局部理论会表现出病态的依赖性：网格越细，断裂能量越趋近于零。1987年，Bažant和Pijaudier-Cabot提出了“非局部损伤力学”，通过用周围单元的加权平均（影响半径l ≈ 3×骨料最大粒径）来评估损伤变量，从而消除了这种依赖性。该方法已在diaFEA和最新的Abaqus2024中作为扩展功能实现。
故障排除
CDM故障
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