集中热容量法
理论：用“一个温度”描述物体
概述
我想大致知道从热处理炉取出的零件几分钟能冷却下来。好像没必要专门建FEM模型……
这种时候首先用的就是集中热容量法。忽略物体内部的温差，把整体当作一个温度处理，偏微分方程就变成常微分方程，答案是一条指数函数。能不能用，要看毕渥数——表面散热与内部导热难易之比。
能量平衡与时间常数
| 经过时间 | 剩余温差 | 变化完成度 |
|---|---|---|
| τ | 36.8 % | 63.2 % |
| 2τ | 13.5 % | 86.5 % |
| 3τ | 5.0 % | 95.0 % |
| 4.6τ | 1.0 % | 99.0 % |
毕渥数与特征长度
毕渥数是“物体内部热阻 $L_c/k$”与“表面热阻 $1/h$”之比。内部热阻远小于表面热阻时，物体内部温度很快趋于一致，可视为均匀。特征长度 $L_c$ 一般取体积除以表面积，球的情况如下：
牛顿冷却定律
“物体冷却速度与其和环境的温差成正比”这一关系，一般认为源于牛顿1701年匿名发表的论文。他观察加热的铁如何冷却，试图用冷却时间来估算远高于红热的温度。今天的集中热容量法，就是把这一关系与物体的热容结合起来，三百多年后的今天仍是热分析CAE的入门工具。不过，在辐射和自然对流占主导的高温区，换热系数随温度变化很大，简单的比例关系不成立，这一点当时就有争论。
算例
例1：热电偶响应时间
直径0.7 mm 的球形测温结点（$\rho = 8500$ kg/m³、$c = 400$ J/(kg·K)、$k = 20$ W/(m·K)）置于换热系数 $h = 400$ W/(m²·K) 的气流中。$\tau = \rho c d/(6h) \approx 0.99$ 秒，毕渥数约0.002，可以放心使用集中热容量法。温度阶跃变化时，跟上95%约需3秒，99%约需4.6秒。
如果流体温度在1秒左右的时间尺度上变化，这个传感器测到的就会滞后且偏小。这个计算是选择热电偶粗细、以及由测量温度反推真实温度的修正的出发点。
例2：钢球冷却与精确解比较
考虑直径50 mm 的钢球（$k = 50$ W/(m·K)、$\rho = 7850$ kg/m³、$c = 460$ J/(kg·K)）在空气、强风和水中冷却的情况。比较集中热容量法与球的精确解（级数解）得到的平均温差减半所需时间，并给出该时刻中心和表面的温度（以相对初始温差的比值表示）。
| 冷却条件 | 毕渥数（V/A） | 减半时间：集中/精确 | 误差 | 中心/表面 |
|---|---|---|---|---|
| 空气 h = 20 | 0.003 | 1043 秒/1045 秒 | −0.2 % | 0.501 / 0.499 |
| 强风 h = 200 | 0.033 | 104 秒/106 秒 | −2.0 % | 0.515 / 0.490 |
| 水 h = 2000 | 0.33 | 10.4 秒/12.4 秒 | −16 % | 0.645 / 0.411 |
用水冷却时，时间被低估16%，中心和表面的差别也很大。
对。毕渥数0.1只是近似判据；误差取决于形状、时刻和关注的温度等，不能保证所有情况下都在5%以内。像水淬这样毕渥数大时，表面先冷，中心仍然很热。淬火开裂和残余应力正是由这种温差引起的，而集中热容量法根本看不到它。这时应改用海斯勒图计算器或数值分析。
实务用法
从估算到数值分析的流程
- 由特征长度 $V/A$ 和换热系数的估算值计算毕渥数。
- 若小于0.1，用集中热容量法求出时间尺度，初步确定试验条件或工艺时间。
- 若在0.1以上，或需要知道内部温差本身（热应力、淬火、焊接质量等），就改用海斯勒图或数值分析。
- 在数值分析中，用集中热容量法得到的时间常数作为时间步长和分析时长的参考。
用FEM确认
- 为小型热电偶或薄板建立瞬态模型后，在相同条件下与集中热容量法的指数函数比较。毕渥数很小却对不上时，要怀疑换热系数的施加方式（所选面、单位）或热容（密度×比热）的输入。
- 质量单位 kg 与 t 混用时，时间常数会差1000倍。在FEM的单位制（如 mm·t·s）中比热的单位也会变化，要特别注意。
- 在辐射起作用的高温区，换热系数随温度变化，一条指数函数对不上。含辐射时，应数值求解常微分方程再比较。
没意识到“温度计慢”的实验
把热电偶装进粗的保护套管后，时间常数会从几秒变成几十秒。在流体温度骤变的试验中，很容易把测量值的滞后误读为“实际温度变化很慢”。分析与试验对不上时，先别急着改模型，而是把分析值按传感器的时间常数做平滑后再比较，有时一下就吻合了。验证时把测量一方的响应也一起建模，才是可靠的做法。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 混淆毕渥数特征长度的定义 | 球的半径基准毕渥数是 V/A 基准的3倍 | 判据要与定义一致：球面全部对流时，Bi(V/A) < 0.1 相当于 Bi(半径) < 0.3 |
| 不检查毕渥数就使用 | 如水冷时时间估计严重偏差 | 先计算毕渥数 |
| 需要内部温差时仍使用 | 漏掉热应力、开裂的原因 | 改用海斯勒图或数值分析 |
| 辐射区假设换热系数恒定 | 高温段冷却估计错误 | 用随温度变化的 $h$ 数值求解常微分方程 |
| 忽略传感器时间常数就比较 | 误解分析与试验的差异 | 把分析值按传感器响应平滑后再比较 |
我想自己改改数值试试。
可以用毕渥数模拟器判断毕渥数，用热电偶响应模拟器确认热电偶的滞后，用咖啡冷却（牛顿冷却定律）模拟器看身边的冷却曲线。毕渥数大时用海斯勒图计算器；只有表面附近急变的短时现象见半无限大物体的非稳态导热；无量纲时间的含义见傅里叶数一文。
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