格拉晓夫数与瑞利数
理论：浮力驱动流动的强度
概述
看自然对流关联式，有的用格拉晓夫数，有的用瑞利数，搞不清楚。区别是什么？
格拉晓夫数表示“温差引起的浮力相对黏性有多强”，即流体多容易动起来。瑞利数是它乘以普朗特数，把“流动的流体能带走多少热”也包含进来，表示自然对流的强度。想知道传热一般用瑞利数。比较空气和油这类普朗特数相差很大的流体，就能清楚看出两者的差别。
定义
$\beta$ 为体积膨胀系数（理想气体为绝对温度的倒数），$\Delta T$ 为温差，$L$ 为特征长度（竖直平板取高度），$\nu$ 为运动黏度，$\alpha$ 为热扩散率。与长度的三次方相关，所以物体越大自然对流越强，越容易变成湍流。
自然对流还是强制对流
理查森数是浮力与惯性力之比。参考标准：大于10以自然对流为主，小于0.1以强制对流为主，其间为混合对流。流动方向与浮力同向还是反向也会改变传热。
名称背后的两个人
格拉晓夫数得名于19世纪德国机械工程师格拉晓夫，他参与创立了德国工程师协会（VDI）。这个数并非他本人提出，而是后来的研究者为表敬意而命名。瑞利数得名于英国的瑞利勋爵，他在1916年从理论上给出了下方加热流体层开始对流的条件。瑞利勋爵还以声学和光散射（天空为何是蓝色）闻名，并因发现氩而获得诺贝尔物理学奖。
算例
例1：不同流体的差异
高0.1 m的竖直平板，温差20 K；物性为代表性近似值，换热系数用Churchill–Chu公式求得：
| 流体 | 格拉晓夫数 | 普朗特数 | 瑞利数 | 换热系数 |
|---|---|---|---|---|
| 空气（35 ℃） | 2.3×10⁶ | 0.71 | 1.7×10⁶ | 5 W/(m²·K) |
| 水（35 ℃） | 1.2×10⁸ | 4.8 | 5.8×10⁸ | 785 W/(m²·K) |
| 机油（60 ℃） | 2.0×10⁴ | 1,050 | 2.0×10⁷ | 73 W/(m²·K) |
机油的格拉晓夫数比空气小两个数量级，换热系数却是空气的15倍。
这正是格拉晓夫数与瑞利数的区别。油非常黏，不容易流动，格拉晓夫数小。但普朗特数高达1,000，温度边界层比速度边界层薄得多，一点流动就能高效带走热量，而且油的导热系数是空气的5倍。所以传热要按瑞利数考虑。水既容易流动又导热好，换热系数是空气的150倍以上，这就是水冷强大的原因。
例2：通风时的判断
| 流速 | 雷诺数 | 理查森数 | 判断 |
|---|---|---|---|
| 0.1 m/s | 606 | 6.37 | 混合对流 |
| 0.5 m/s | 3,030 | 0.25 | 混合对流 |
| 2.0 m/s | 12,121 | 0.02 | 以强制对流为主 |
对高0.1 m、温差20 K的平板，即使0.5 m/s的微风，自然对流的影响仍然存在。估算风扇风量弱的地方或风扇停转时的温度，需要两者都考虑。
使用注意事项
- 特征长度：竖直平板取高度，水平平板取面积÷周长，圆柱取直径，封闭空间取壁间距；要与各关联式的定义一致。
- 物性温度：按壁面与环境的平均温度（膜温度）取值；像油这类黏度随温度变化大的流体要特别注意。
- 转捩：竖直平板瑞利数超过约10⁹变为湍流；与长度三次方相关，大型设备很快就会达到。
“油温变化使结果相差一倍”
计算变压器油的自然对流时，油温取40 ℃还是80 ℃，换热系数相差很大——油的黏度随温度变化好几倍。黏度下降，格拉晓夫数按平方增大，瑞利数也大幅增加。变压器油运行中会升温，用冷态物性计算会低估冷却，反之用高温物性评估启动时会高估。可靠的做法是计入物性的温度依赖，按各运行状态评估。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 混淆Gr与Ra | 传热严重出错 | 确认关联式变量 |
| 特征长度定义不对 | 误差按三次方放大 | 按关联式定义 |
| 用Gr判断高Pr流体 | 低估传热 | 用Ra评估 |
| 把弱风只当强制对流 | 传热出错 | 用Ri确认混合对流 |
| 物性取常数（油） | 不同运行状态偏差大 | 计入温度依赖 |
我想自己计算这些无量纲数。