斯特藩问题
理论：带移动界面的导热
概述
我想计算相变储热材料（PCM）熔化得多快。和普通导热计算有什么不同？
区别在于已熔化液体与仍为固体部分的边界（界面）随时间移动。界面吸收熔化所需的潜热，热量被用来推进界面，很难传到更远处。界面位置本身是答案一部分的问题叫做斯特藩问题。最简单的情况有精确解，常用于验证数值计算。先用精确解把握界面推进的速度。
Neumann精确解
固体初始处于熔点 $T_m$，壁面保持 $T_w$ 使其熔化。界面 $s$ 与时间平方根成正比推进，系数 $\lambda$ 只由斯特藩数 $Ste$（显热与潜热之比）决定。$\alpha$ 为液相热扩散率。
焓法
用焓 $H$（包括潜热的热量）代替温度求解，无需追踪界面就能处理相变。正在熔化的单元温度保持在熔点，焓增加潜热那部分。
源于极地冰层厚度的问题
这个问题以斯洛文尼亚出身的物理学家斯特藩命名，他在1889年前后研究极地海冰增厚的速度。他与北极探险的观测数据比较，证明冰层厚度与时间平方根成正比增加。据说同样形式的精确解此前已由诺伊曼在讲课中给出，现在常称为Neumann解。它是冻结、铸件凝固、储热材料、焊接等界面移动传热问题的出发点。
算例
例1：精确解与准稳态近似
假设液相温度线性分布的准稳态近似得 $\lambda = \sqrt{Ste/2}$：
| 斯特藩数 | 0.01 | 0.1 | 0.2 | 0.5 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 精确解 λ | 0.0706 | 0.2200 | 0.3064 | 0.4648 | 0.6201 | 0.8006 |
| 准稳态近似偏差 | +0.2% | +1.6% | +3.2% | +7.6% | +14.0% | +24.9% |
例2：石蜡熔化
石蜡（热导率0.2 W/mK，密度800 kg/m³，比热2,000 J/kgK，潜热200 kJ/kg，熔点50 ℃）由70 ℃壁面熔化（斯特藩数0.2，忽略对流）。熔化面1小时到13.0 mm，4小时26.0 mm，24小时63.7 mm；4小时后壁面热流158.7 W/m²。
例3：焓法精度
| 分段数（50 mm） | 4小时界面 | 误差 | 壁面热流振荡 |
|---|---|---|---|
| 25 | 26.022 mm | 0.021 mm | −1.8%～+2.6% |
| 50 | 26.009 mm | 0.008 mm | — |
| 100 | 26.004 mm | 0.003 mm | ±0.1% |
| 200 | 26.002 mm | 0.001 mm | — |
界面位置25个单元就几乎准确，热流却在振荡。
焓法中，一个单元熔化完之前温度一直停在熔点，熔化完的瞬间才开始升温。所以从壁面看的温度梯度即热流，每熔化一个单元就阶跃变化一次。把熔化量加起来得到的界面位置由整体能量平衡决定，所以很准确。但要看壁面热流或某点温度历程时，需要加密网格，或在熔点附近把潜热分散到小温度范围使其平滑。
分析步骤
- 计算斯特藩数，确认显热和潜热哪个为主。
- 先用一维精确解得到界面推进的估计。
- 数值计算用焓法或表观比热法，在相同条件下与精确解比较验证。
- 液相自然对流起作用时（如PCM熔化），也要求解流动。
- 对合金等有熔化温度范围的材料，考虑固液共存区（糊状区）。
“比计算快了一倍熔化”
某储热单元的石蜡按纯导热计算设计，样机熔化速度约为计算的两倍。熔化的液体受热上升，先熔化了上部固体——液相自然对流输送的热量远大于纯导热。容器竖放时的熔化方式与横放完全不同。斯特藩问题精确解作为验证起点很重要，但实际装置还需要求解流动。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 大斯特藩数用准稳态近似 | 高估界面速度 | 精确解或数值解 |
| 粗网格评估热流 | 台阶状振荡 | 细网格或平滑化 |
| 忽略液相对流 | 高估熔化时间 | 同时求解流动 |
| 忽略体积变化 | 漏掉空洞和压力 | 考虑密度变化 |
| 忽略过冷 | 凝固开始判断错误 | 测量并考虑过冷 |
我想试试相关计算。