矩形板Navier解（四边简支）
矩形板のNavier解（4辺単純支持）
理论与物理
概述
老师！今天要讲的是矩形板的Navier解（四边简支）对吧？那是什么内容呢？
四边简支矩形板的Navier双重傅里叶级数解。验证均布荷载下中心挠度的收敛性。
控制方程
$$ w(x,y) = \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{mn}}{\pi^4 D}\frac{\sin\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b}}{\left(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2}\right)^2} $$
$$ a_{mn} = \frac{4}{ab}\int_0^a\int_0^b q(x,y)\sin\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b}\,dx\,dy $$
听到这里，我终于明白矩形板为什么重要了！
离散化方法
这个方程，在计算机上实际是怎么求解的呢？
要使用有限元法（FEM）进行空间离散化。组装单元刚度矩阵，构建整体刚度方程。
矩阵求解算法
矩阵求解算法，具体是指什么呢？
通过直接法（LU分解、Cholesky分解）或迭代法（CG法、GMRES法）来求解联立方程。对于大规模问题，带预处理的迭代法非常有效。
| 解法 | 分类 | 内存使用量 | 适用规模 |
|---|---|---|---|
| LU分解 | 直接法 | O(n²) | 小～中规模 |
| Cholesky分解 | 直接法（对称正定） | O(n²) | 小～中规模 |
| PCG法 | 迭代法 | O(n) | 大规模 |
| GMRES法 | 迭代法 | O(n·m) | 大规模·非对称 |
| AMG预处理 | 前处理 | O(n) | 超大规模 |
也就是说在有限元法环节偷工减料的话，后面会吃苦头对吧。我铭记在心！
商用工具中的实现
那么，要做矩形板的Navier解（四边简支）可以用什么软件呢？
| 工具名 | 开发商/现状 | 主要文件格式 |
|---|---|---|
| MSC Nastran / NX Nastran | MSC Nastran（Hexagon）、NX Nastran（Siemens Digital Industries Software） | .bdf, .dat, .f06, .op2, .pch |
| Abaqus FEA (SIMULIA) | Dassault Systèmes SIMULIA | .inp, .odb, .cae, .sta, .msg |
| Ansys Mechanical (旧ANSYS Structural) | Ansys Inc. | .cdb, .rst, .db, .ans, .mac |
| Ansys Fluent | Ansys Inc. | .cas, .dat, .msh, .jou |
| Simcenter STAR-CCM+ | Siemens Digital Industries Software | .sim, .java, .csv |
| COMSOL Multiphysics | COMSOL AB | .mph |
| OpenFOAM | 开源（OpenCFD/ESI、OpenFOAM Foundation） | 字典文件（blockMeshDict等）, .foam |
供应商谱系与产品整合历程
各个软件的诞生过程，是不是还挺有戏剧性的？
MSC Nastran / NX Nastran
接下来是MSC Nastran的内容对吧。具体是什么？
1960年代作为NASA结构分析（NASTRAN）开发。MSC Software将其商业化，之后UGS（现Siemens）派生出NX Nastran。MSC于2017年被Hexagon AB收购。
当前归属：MSC Nastran（Hexagon）、NX Nastran（Siemens Digital Industries Software）
Abaqus FEA (SIMULIA)
Abaqus FEA，具体是指什么呢？
1978年由HKS (Hibbitt, Karlsson & Sorensen) 开发。2005年被达索系统收购，并整合到SIMULIA品牌下。
当前归属：Dassault Systèmes SIMULIA
等等等等，结构分析的话，也就是说这种案例也能用吗？
Ansys Mechanical (旧ANSYS Structural)
请讲讲「Ansys Mechanical」！
哦～，结构分析的话题，太有趣了！请再多讲一些。