p-细化（多项式次数提升）
p-リファインメント（多項式次数向上）
理论与物理
概述
老师！今天要讲的是p-细化（多项式次数提升）对吧？具体是什么内容呢？
通过提高单元的多项式次数p来提升精度。对于光滑解可实现指数级收敛。若存在奇点则效果会下降。
控制方程
$$ E \leq C\left(\frac{1}{p}\right)^{2p} $$
$$ \|u-u_h\|_{H^1} \leq C p^{-(k-1)}\|u\|_{H^k} $$
离散化方法
这个方程在实际中是如何用计算机求解的呢？
使用有限元法（FEM）进行空间离散化。组装单元刚度矩阵，构建总体刚度方程。
矩阵求解算法
矩阵求解算法具体是指什么呢？
通过直接法（LU分解、Cholesky分解）或迭代法（CG法、GMRES法）求解线性方程组。对于大规模问题，带预处理的迭代法非常有效。
| 求解器 | 分类 | 内存使用量 | 适用规模 |
|---|---|---|---|
| LU分解 | 直接法 | O(n²) | 小～中规模 |
| Cholesky分解 | 直接法（对称正定） | O(n²) | 小～中规模 |
| PCG法 | 迭代法 | O(n) | 大规模 |
| GMRES法 | 迭代法 | O(n·m) | 大规模·非对称 |
| AMG预处理 | 预处理 | O(n) | 超大规模 |
也就是说，如果在有限元法这部分偷工减料，后面就会吃苦头对吧。我铭记在心！
商用工具中的实现
那么，要进行p-细化（多项式次数提升）可以使用哪些软件呢？
| 工具名称 | 开发商/现状 | 主要文件格式 |
|---|---|---|
| MSC Nastran / NX Nastran | MSC Nastran（Hexagon）、NX Nastran（Siemens Digital Industries Software） | .bdf, .dat, .f06, .op2, .pch |
| Abaqus FEA (SIMULIA) | Dassault Systèmes SIMULIA | .inp, .odb, .cae, .sta, .msg |
| Ansys Mechanical (原ANSYS Structural) | Ansys Inc. | .cdb, .rst, .db, .ans, .mac |
| Ansys Fluent | Ansys Inc. | .cas, .dat, .msh, .jou |
| Simcenter STAR-CCM+ | Siemens Digital Industries Software | .sim, .java, .csv |
| COMSOL Multiphysics | COMSOL AB | .mph |
| OpenFOAM | 开源（OpenCFD/ESI、OpenFOAM Foundation） | 字典文件（如blockMeshDict等）, .foam |
供应商谱系与产品整合历程
各个软件的诞生过程，是不是都挺有戏剧性的？
MSC Nastran / NX Nastran
接下来是MSC Nastran的内容对吧？具体是什么？
于1960年代作为NASA结构分析（NASTRAN）开发。MSC Software将其商业化，之后UGS（现西门子）衍生出NX Nastran。MSC于2017年被Hexagon AB收购。
当前归属：MSC Nastran（Hexagon）、NX Nastran（Siemens Digital Industries Software）
Abaqus FEA (SIMULIA)
Abaqus FEA具体是指什么呢？
1978年由HKS (Hibbitt, Karlsson & Sorensen) 开发。2005年被达索系统收购，并整合至SIMULIA品牌下。
当前归属：Dassault Systèmes SIMULIA
等等，结构分析的话，也就是说这类情况也能使用吗？
Ansys Mechanical (原ANSYS Structural)
请介绍一下“Ansys Mechanical”！
哦～，结构分析的话题，真是太有趣了！请再多讲一些。