多物理场不确定性量化
思路：输入离散传递到结果
概述
耦合分析给出的是一个数，但材料参数和换热系数都有相当的范围。结果能信多少？
用数字回答这个问题的就是不确定性量化：让各输入在其范围内离散，求结果离散多少。耦合分析中特别重要的是，物理场之间的相互影响可能放大离散。比如电流加热的导线，温度升高电阻增大又进一步发热，换热系数稍低一点温度就会大幅升高。按单一物理场的直觉“输入±15%结果也±15%左右”去想就会出错。
主要方法
第一种是由灵敏度（偏导数）估算标准差的线性化方法，计算次数只需输入个数加1，但非线性强时会出错。第二种是蒙特卡洛法，让输入离散计算 $N$ 次；任何非线性都能正确处理，但平均值误差只按 $1/\sqrt{N}$ 减小，需要大量计算。
示例所用的耦合问题
1 mm²裸铜线通20 A，表面以换热系数 $h$ 散热。电阻的温度依赖（系数 $\alpha$）使温度与发热相互影响。详见电阻加热分析。
诞生于核武器研究的计算方法
蒙特卡洛法诞生于20世纪40年代美国洛斯阿拉莫斯的中子扩散研究。据说数学家乌拉姆意识到，要求单人纸牌游戏的成功概率，反复发牌去数比用公式算更快。冯·诺依曼等人以著名赌场所在的摩纳哥地区为之命名。当年计算机只能做几百次试验，如今一台电脑几秒就能跑几十万次。但耦合分析一次要花几小时时，计算次数至今仍是很大的限制。
算例：铜线温度的离散
输入离散
| 输入 | 平均 | 标准差 |
|---|---|---|
| 换热系数 h | 20 W/(m²·K) | 3（15%） |
| 电流 I | 20 A | 0.2（1%） |
| 电阻率 ρ₂₀ | 1.72×10⁻⁸ Ω·m | 1% |
| 环境温度 Ta | 25 ℃ | 2 K |
蒙特卡洛结果（20万次）
| 模型 | 名义值 | 平均 | 5%分位 | 中位数 | 95%分位 |
|---|---|---|---|---|---|
| 不耦合（电阻恒定） | 123.9 ℃ | 126.4 ℃ | 103.7 ℃ | 124.0 ℃ | 156.9 ℃ |
| 耦合 | 184.9 ℃ | 197.5 ℃ | 138.6 ℃ | 185.1 ℃ | 291.9 ℃ |
耦合后95%分位值比名义值高100 K以上。
对。不耦合时95%分位值只比名义值高33 K，耦合后高107 K。换热系数偏低时，温度升高→电阻增大→发热进一步增加，分布向高温侧拖出长尾，连平均值也比名义值高约13 K。若绝缘层允许温度为150 ℃，超过的概率不耦合时约9%，耦合时约87%。可见只凭一个名义值判断是危险的。
哪些输入起作用
由名义点的灵敏度求方差构成：换热系数97%，电流2%，环境温度1%，电阻率几乎为0%。要减小离散，与其重测材料参数，不如用实验确认换热系数（冷却条件）最有效。但线性化标准差为39 K，无法充分表示蒙特卡洛分布的范围。它可用于判断输入的重要性排序，概率估计则需要蒙特卡洛。
实务步骤
步骤
- 为每个输入确定离散范围和分布形状；没有数据时按文献或经验设定并记录依据。
- 用灵敏度分析筛选起作用的输入，多数情况下少数几个占大部分。
- 对筛选出的输入做蒙特卡洛；单次计算量大时用响应面或降阶模型代替。
- 不仅看平均值和标准差，还要按超过允许值的概率和上侧分位值判断。
“按标准差定安全系数却不够”
在名义值上加两倍标准差作为保守值，是常用的做法。分布接近对称的正态分布时可以，但耦合中有正反馈时，分布会向高值侧拖出长尾。示例铜线中，名义值185 ℃加上线性化标准差39 K的两倍约为264 ℃，而蒙特卡洛的95%分位值为292 ℃，99%分位值为397 ℃。只看平均值和标准差看不出尾部的扩展，可靠的做法是直接求出用于判断的分位值。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 只凭一个名义值判断 | 漏掉超限概率 | 求出分布 |
| 只用线性化 | 低估尾部 | 用蒙特卡洛确认 |
| 让所有输入都离散 | 计算次数庞大 | 按灵敏度筛选 |
| 去掉耦合评估不确定性 | 低估离散 | 用耦合模型评估 |
| 不记录输入范围依据 | 无法说明结果的合理性 | 记录出处和假设 |
我想自己试试蒙特卡洛和不确定度传播。
可以用蒙特卡洛统计工具试试蒙特卡洛，用不确定度传播工具试试线性传播。与实验比较时的用法见ASME V&V 20，耦合强弱的判断见强耦合与弱耦合，减轻计算量的方法见降阶模型。
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