電池のシミュレーションにはどんなモデルがありますか？

大きく分けて、電池を抵抗とコンデンサの回路で表す等価回路モデルと、電極の中のリチウムの拡散や反応を解く電気化学モデル（Newmanの疑似2次元モデルなど）があります。等価回路モデルは速くシステム全体の解析に向き、電気化学モデルは劣化や急速充電の解析に向いています。

電池の発熱はどう計算しますか？

主な発熱は、内部抵抗による不可逆な発熱（I²R）と、電池の反応に伴う可逆な発熱（I·T·dU/dT）です。仮想の3 Ahのセルでは、内部抵抗の発熱が1Cで0.40 W、2Cで1.62 W、3Cで3.65 Wと、電流の2乗で増えました。可逆な発熱は充電状態によって正にも負にもなり、この例では1〜2割程度です。

放電の速さで温度上昇はどれくらい変わりますか？

発熱は電流の2乗、放電時間は電流に反比例するので、1回の放電の発熱量は電流に比例して増えます。例のセル（表面の熱伝達10 W/(m²·K)）では、1回の放電の温度上昇が1Cで9 K、2Cで31 K、3Cで56 Kでした。冷却がなければ2Cでも61 K上がり、温度の管理が欠かせません。

リチウムイオン電池シミュレーション

カテゴリ: 連成解析 | 2026-10-01 改稿

理論：電気と熱をつなぐモデル

概要

🙋

電動工具の電池パックが、連続で使うと熱くなって止まってしまいます。電池の温度をシミュレーションで予測できますか？

🎓

できるよ。まず電池の電気的なふるまいをモデルにして、電流を流したときに内部でどれだけ熱が出るかを求める。それを熱の解析に渡して温度を計算し、温度で変わる内部抵抗をまた電気のモデルに戻す——電気化学と熱の連成だ。一番手軽なのは、電池を電圧源と抵抗・コンデンサの回路で表す等価回路モデル。電極の中の反応や拡散まで見たいなら電気化学モデルを使う。熱くなって止まる問題なら、等価回路モデルで十分見当がつくよ。

等価回路モデル（1RC）

$$ V = U_{oc}(\mathrm{SOC}) - I R_0 - V_1, \qquad \frac{dV_1}{dt} = \frac{I}{C_1} - \frac{V_1}{R_1 C_1} $$

$U_{oc}$ は開回路電圧（充電状態で決まる）、$R_0$ は即座に効く内部抵抗、$R_1, C_1$ は拡散などによる遅れを表す部分。電流を流した瞬間に $IR_0$ だけ電圧が下がり、その後 $R_1C_1$ の時定数でさらに下がっていく。各値は温度と充電状態で変わるので、試験から表として作る。

発熱の式

$$ \dot Q = \underbrace{I^2 R_0 + \frac{V_1^2}{R_1}}_{\text{irreversible}} + \underbrace{I\,T\,\frac{\partial U_{oc}}{\partial T}}_{\text{reversible}} $$

$$ m c_p \frac{dT}{dt} = \dot Q - h A (T - T_\infty) $$

不可逆な発熱は抵抗によるもので、必ず正。可逆な発熱は反応のエントロピー変化によるもので、充電状態と電流の向きで正にも負にもなる。温度は、発熱と表面からの放熱の釣り合いで決まる。

Coffee Break よもやま話

Newmanの電気化学モデル

電池の中を細かく解くモデルの基礎は、米国のNewmanらが1970〜90年代に作った多孔質電極の理論で、1990年代にリチウムイオン電池に応用された『疑似2次元（P2D）モデル』は今も標準だ。電極の厚さ方向の1次元と、粒子の中の半径方向の1次元を組み合わせて、リチウムの拡散と反応を解く。リチウムイオン電池は1991年に商品化され、2019年には開発に貢献した吉野彰らがノーベル化学賞を受けている。

計算例：仮想の18650セル

容量3 Ah、R₀ 30 mΩ、R₁ 15 mΩ、C₁ 2,000 F（時定数30秒）、質量45 g、比熱1,000 J/(kg·K)、表面積0.0042 m²、表面の熱伝達係数10 W/(m²·K)、周囲25 ℃。定電流で容量の95%まで放電した。

放電の速さ	電流	最初の電圧降下	抵抗の発熱	1回の発熱量	温度上昇（冷却あり）	温度上昇（断熱）
1C	3 A	0.09 V	0.40 W	1.4 kJ	9 K	31 K
2C	6 A	0.18 V	1.62 W	2.7 kJ	31 K	61 K
3C	9 A	0.27 V	3.65 W	4.1 kJ	56 K	91 K

🙋

電流を3倍にすると、発熱は9倍、温度上昇は6倍にもなるんですね。

🎓

そう。発熱は電流の2乗、放電の時間は電流に反比例するから、1回の放電で出る熱の量は電流に比例して3倍。一方でこのセルの熱の時定数は約18分（1,071秒）で、1Cの1時間の放電ではその間にかなり放熱できるけど、3Cの20分では放熱が追いつかない。だから温度上昇は6倍になる。パックの中のセルは周りのセルに囲まれて放熱がさらに悪く、断熱の値に近づく。可逆な発熱（この例で1〜2割）や、温度で下がる内部抵抗も入れると、より正確になるよ。

解析の進め方

手順

パルス放電の試験から、温度と充電状態ごとの R₀・R₁・C₁ と開回路電圧を求める。
開回路電圧の温度変化（dU/dT）を測り、可逆な発熱を入れる。
セル1本で温度を検証してから、パック全体の熱解析（セルの並び、冷却の流れ、接触熱抵抗）へ広げる。
使用の条件（充電、放電、休止）の繰り返しで、最高温度とセル間の温度差を評価する。

注意点

内部抵抗の温度依存：低温では内部抵抗が何倍にもなり、発熱と電圧降下が大きい。
セル間の温度差：温度の違いは劣化の速さの違いになり、容量のばらつきを広げる。
熱暴走の手前：高温では副反応の発熱が加わり、温度が上がるほど発熱が増える。安全の評価は別途行う。

Coffee Break よもやま話

「真ん中のセルだけ早く劣化する」

電池パックを数年使うと、端のセルより真ん中のセルの容量が大きく落ちていた——よくある話だ。真ん中のセルは周りを他のセルに囲まれて冷えにくく、使うたびに数K高い温度にさらされる。劣化の速さは温度が10 K上がるとおよそ倍になると言われるので、わずかな温度差が年単位で大きな差になる。パックの寿命は一番弱いセルで決まるから、熱解析で『最高温度』だけでなく『セル間の温度差』を小さくする設計が大事になる。

よくある間違い

間違いと対策

間違い	起きること	対策
内部抵抗を一定とする	低温の発熱・電圧を誤る	温度・SOCの表を使う
可逆な発熱を無視	低い電流で誤差が大きい	dU/dTを測って入れる
セル1本の冷却をパックに流用	中央のセルを過小評価	パック全体で解析
最高温度だけ見る	劣化のばらつきを見落とす	セル間の温度差も評価
一定の放電だけで評価	実際の使い方と合わない	使用パターンで解析

🙋

電池の計算を自分でも試したいです。

🎓

電池モデルのシミュレーターで等価回路、充電状態（SOC）の計算で充電状態、電池の劣化（アレニウス）で劣化、電池の容量設計で容量の設計を試せるよ。関連する話題は電池の熱管理、熱暴走、電池の劣化、燃料電池のモデル化の記事にまとめてある。