連成問題の収束性

設定より、問題そのものの性質であることが多い。電流を流すと発熱で温度が上がり、温度が上がると抵抗が増えて発熱がさらに増える。電気と熱を交互に解くと、この影響が往復するたびに誤差が一定の割合（q）で残る。q が小さければすぐ収束するが、1に近いと何百回もかかり、1を超えると発散する。そして q が1を超えるのは、計算の失敗ではなく、物理的に釣り合いの温度が存在しない（熱暴走）場合もある。だから収束しないときは、まず連成の強さを見積もり、数値の問題か、物理の問題かを見分けることが大事だ。単純な電熱線のモデルで確かめてみよう。

この例の方程式は温度について1次なので、ニュートン法は1回で厳密な解に着く（2回目は確認）。ところが11.5 Aでは、方程式の数学的な解が負の温度になる。式としては正しいが、物理的には存在しない。ニュートン法は『収束した』と報告するので、温度の範囲などの物理的なチェックがないと、この答えをそのまま使ってしまう。一方、ピカール法の発散は、問題の性質（解がない）を正直に表している。また、緩和係数を小さくすると収束が遅くなったのは、この例では誤差が同じ向きに減っていく（q が正）ので、緩和がブレーキにしかならないからだ。誤差が振動する場合には緩和が効く。どの方法でも、結果が物理的に妥当か、解が存在する条件かを確かめる習慣が大切だ。

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