個数密度関数法（PBM）

PBM（Population Balance Model）は、気泡・液滴・粒子のサイズ分布の時間空間変化を追跡するモデルだ。合体（coalescence）、分裂（breakup）、核生成（nucleation）、成長（growth）によってサイズ分布が変化する過程を記述する。

気泡塔での気泡径分布、乳化プロセスでの液滴径分布、晶析での結晶サイズ分布、エアロゾルの粒径変化など、分散相のサイズ分布が重要な問題全般で使う。Euler-Euler法と組み合わせて使うのが一般的だ。

体積 $V$ を持つ粒子（気泡・液滴）の個数密度 $n(V, \mathbf{x}, t)$ の輸送方程式は次の通りだ。

右辺の各項は以下を表す。

代表的なクロージャモデルを示そう。

Sauter平均径 $d_{32}$ が最もよく使われる。

$m_k = \int_0^\infty V^{k/3} n(V) dV$ は分布の $k$ 次モーメントだ。$d_{32}$ は体積-表面積比に対応し、物質移動や反応速度の評価に適している。

PBEは体積（サイズ）を追加の独立変数とする積分微分方程式なので、直接解くのは困難だ。以下の離散化手法が使われる。

MUSIGはサイズ空間を10〜30のビン（size group）に分割し、各ビンの個数密度を輸送方程式として解く。精度が高いが、ビン数だけ追加の輸送方程式を解くため計算コストが大きい。

QMOM（McGraw, 1997）はサイズ分布を直接解かず、最初の数個のモーメント（$m_0, m_1, ..., m_5$等）の輸送方程式を解く。Product-Difference Algorithm（PDA）やWheeler法で求積公式の節点と重みを決定し、合体・分裂のソース項を計算する。

Ansys FluentではEulerian Multiphase + Population Balance Modelで利用可能だ。

STAR-CCM+では S-Gamma モデル（Lo, 2000）が標準で、2パラメータ（平均径と分散）で分布を追跡する。計算コストが最も低いが、分布形状がガンマ分布に制約される。MUSIGも利用可能だ。

OpenFOAMでは populationBalanceModel クラスがv2006以降で利用可能だ。MUSIG（iMUSIG含む）とQMOMが実装されている。設定は constant/phaseProperties 内の populationBalanceCoeffs で行う。

気泡塔の気泡径分布解析を例に説明しよう。

1. Euler-Euler設定: 液相（連続相）+ 気相（分散相）

inhomogeneous MUSIG の略で、CFX が最初に実装した手法だ。サイズグループをさらに速度グループに分け、大きな気泡と小さな気泡に異なる速度場を持たせる。Tomiyama揚力の符号反転（小気泡は壁面へ、大気泡は中心へ）を再現するのに不可欠だ。

以下の実験量との比較が標準だ。

晶析では核生成、結晶成長、凝集、破砕がサイズ分布を決める。PBMはまさにこれらの過程を記述するための枠組みだ。Fluentの DQMOM は結晶の成長速度がサイズ依存する場合にも対応できる。

化学工学のプロセスシミュレーションでは、PBMの結果をAspen Plus等のプロセスシミュレータにフィードバックしてプラント全体の最適化を行うワークフローも確立されつつある。

いくつかの方向性を見ていこう。

気泡の合体・分裂過程をVOF法のDNSで直接計算し、合体効率や分裂頻度のクロージャ相関を改良する研究が進んでいる。Tryggvason et al.（Notre Dame）やLu & Tryggvason（2013）のFront-Tracking DNSが先駆的だ。

2Dや多次元のPBMとして、サイズと組成、サイズと温度、サイズと形状など複数の内部変数を同時に追跡する研究がある。晶析での結晶形状（多形）制御や、噴霧での液滴温度-サイズ結合などに応用される。ただし次元の呪いで計算コストが急増するため、QMOMやCQMOMが効率的な解法として研究されている。

DNSデータを教師データとして、合体効率や分裂頻度をニューラルネットワークで予測するモデルが提案されている。従来の経験相関では表現できない複雑なパラメータ依存性を学習できる利点がある。

RANSベースのPBMではなく、LESと組み合わせて乱流の大規模構造がサイズ分布に与える影響を直接捕捉する研究が進んでいる。気泡塔の過渡的な気泡径変化や混合性能の予測精度が向上する。

その通り。MUSIG+LESは非常に重いので、S-GammaやQMOMのような低コスト手法との組み合わせが現実的だ。

順番に見ていこう。

対策:

対策:

対策:

症状: 負のモーメントや求積公式の破綻。

対策: