Euler-Euler二流体モデル

その通り。Euler-Euler法は、気相と液相（あるいは固相と気相）の両方を連続体として扱い、それぞれの相に対して独立した保存方程式を解く手法だ。気泡塔、スラリー反応器、蒸気-液の二相流配管など、分散相の体積分率が高い系で威力を発揮する。

VOF法は界面をシャープに追跡する「界面捕捉法」で、大きな界面構造を持つ自由表面流れに向いている。一方、Euler-Euler法は多数の気泡や液滴が分散した系を扱う「分散流モデル」だ。個々の気泡を解像するのではなく、局所的な体積分率として統計的に扱う。

各相 $k$ について連続の式と運動量方程式を解く。連続の式は次の通りだ。

ここで $\alpha_k$ は相 $k$ の体積分率、$\dot{m}_{lk}$ は相 $l$ から相 $k$ への質量移行率だ。体積分率の拘束条件として $\sum_k \alpha_k = 1$ が成り立つ。

相 $k$ の運動量方程式は次のようになる。

$\mathbf{M}_k$ は相間力（interfacial force）の総和で、ここが二流体モデルの核心部分だ。圧力 $p$ は全相で共有する（共有圧力モデル）のが標準的なアプローチだよ。

気泡流を例にとると、分散相（気泡）に作用する主な力は以下の通りだ。

球形気泡なら Schiller-Naumann、変形気泡（Eotvos数が大きい）なら Ishii-Zuber や Grace モデルが適している。Ishii-Zuber は気泡レジーム（球形・楕円体・キャップ形）に応じて自動的に抗力係数を切り替えるので汎用性が高い。

基本的にはSIMPLE系アルゴリズムの拡張版を使う。各相の運動量方程式を順に解き、共有圧力から圧力補正を行うのが基本の流れだ。

1. 各相の運動量方程式を仮の速度場で解く

そう。ただし分散相の圧力項には追加の項が入ることがある。例えば粒体流（Eulerian Granular）では固相圧力 $p_s$ が体積分率の関数として加わる。

3つのアプローチがある。

気泡塔の解析では、気泡誘起乱流（BIT: Bubble-Induced Turbulence）の追加ソース項が重要だ。Sato & Sekoguchi モデルが最もよく使われる。

その通り。気泡の後流が乱流エネルギーを追加的に生成する。高ボイド率では BIT が支配的になることもある。

Euler-Euler法は非線形性が強く、収束が難しい場合がある。

定常計算は収束しないことが多いので、非定常計算で時間平均を取るのが一般的だ。気泡塔のような系では、数十秒の物理時間を回してから統計量を取り始める。

気泡塔リアクターの解析を例に説明しよう。

1. 形状定義: 塔径、高さ、スパージャー（気泡噴射口）配置

セルサイズが気泡径（通常 3〜5 mm）より大きい必要がある。セルが気泡より小さいとモデルの前提が崩れるんだ。

気泡塔のような系では2Dだと非物理的な定常解に収束してしまい、実験で見られる大規模循環パターンを再現できない。必ず3D計算が必要だ。

代表的なベンチマーク実験を示そう。

HZDR（ヘルムホルツ・ツェントルム・ドレスデン・ロッセンドルフ）の実験データベースは公開されていて、二流体モデルの検証に広く使われている。

主要なツールをまとめよう。

CFXは結合型（Coupled）ソルバーで、圧力と速度を同時に解くため収束性が良い。原子炉の複雑な幾何形状（燃料集合体等）での二相流解析で、長年の実績と検証データベースがある。EUのNURESIMやNURESAFEプロジェクトでCFXを使った検証研究が多数報告されている。

商用ツールはいずれもEuler-Eulerモデルを基本パッケージに含んでいるので、追加ライセンスは不要だ。ただしPBMとの連成は上位パッケージが必要な場合がある。

いくつかの重要な方向性を見ていこう。

従来の2流体モデルでは気泡径を一定と仮定するが、実際には気泡の合体・分裂でサイズが変化する。界面面積濃度 $a_i$ の輸送方程式を追加して解く手法が発展している。

$\phi_{RC}$ はランダム衝突による合体、$\phi_{TI}$ は乱流による分裂、$\phi_{WE}$ は渦による分裂、$\phi_{PH}$ は相変化の寄与だ。Ishii & Hibiki（2011）の理論が基礎になっている。

通常のEuler-EulerモデルはRANSベースだが、LES（大渦シミュレーション）と組み合わせることで、気泡塔の大規模循環やクラスター構造をより正確に再現できる。ただしフィルター幅とサブグリッドスケールでの気泡-乱流相互作用のモデリングが課題だ。

Niceno & Dhotre（PSI, 2010s）やDeen et al.（TU Eindhoven）のグループがLES Euler-Eulerの先駆的研究を行っている。

相間力モデル（特に抗力係数と揚力係数）を機械学習で改良する研究が活発だ。DNSやInterface-Resolved Simulation（界面解像シミュレーション）で得た詳細データを教師データとして、ニューラルネットワークでクロージャ相関を構築する。

Ma et al.（2020）はDNSデータからランダムフォレストで気泡群の抗力係数を予測するモデルを提案し、従来の Ishii-Zuber 相関より高精度な結果を得ている。

大きな気泡（キャップバブル、スラグ）はVOF法で界面を追跡し、小さな気泡はEuler-Euler法で処理するハイブリッド手法が研究されている。STAR-CCM+のLarge Scale Interface（LSI）モデルやFluentのMulti-Fluid VOFがこの方向性だ。

スラグ流のように大小の気泡が共存する系で特に有効だ。ただしVOFとEuler-Eulerの遷移基準の設定が難しく、まだ活発に研究されている段階だ。

順番に見ていこう。

症状: $\alpha$ が負値や1を超え、計算が発散。

対策:

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