Lagrangian粒子追跡（DPM）

Lagrangian粒子追跡法（DPM: Discrete Phase Model）は、離散的な粒子・液滴・気泡の軌道を個別に追跡する手法だ。噴霧液滴、粉体輸送、エアロゾル拡散、サイクロン分離、排ガス中の粒子捕集など、分散相の体積分率が低い（通常10%以下）系で使われる。

分散相の体積分率が低ければDPM、高ければEuler-Euler法が基本だ。DPMは粒径分布や個別粒子の履歴（温度変化、蒸発、反応）を自然に追跡できる利点がある。

各粒子の運動はNewtonの第2法則に従う。

最も重要なのは抗力 $\mathbf{F}_D$ で、Stokes/Schiller-Naumann相関が標準だ。

固体粒子-空気系（$\rho_p / \rho_g \gg 1$）では抗力と重力が支配的で、他の力は省略可能な場合が多い。気泡追跡や微粒子では追加の力が重要になる。

粒子の軌道積分には陽的オイラー法や解析的積分が使われる。粒子位置の更新は気相のCFDタイムステップ内でサブステッピングして行う。

粒子と気相の相互作用の程度に応じてカップリングレベルが変わる。

粒子が通過したCFDセルに対して、運動量ソース（抗力の反作用）、エネルギーソース（熱交換）、質量ソース（蒸発）を累積する。Particle Source in Cell（PSI-Cell）法と呼ばれる。

DRW（Discrete Random Walk）モデルが標準だ。乱流速度変動をガウス分布から確率的に生成し、粒子に付加する。

$\zeta$ は標準正規乱数、$k$ は乱流エネルギーだ。変動速度の持続時間は乱流時間スケール $\tau_e = C_L k/\varepsilon$ で制御する。

FluentのDPMは最も多機能で、蒸発、燃焼、液滴分裂、壁面相互作用のサブモデルが統合されている。

サイクロン集塵機の粒子分離解析を例にとろう。

1. 気相解析: まず粒子なしで気相流れ場を収束させる

DPMでは「parcel」概念を使い、1つの計算粒子が多数の実粒子を代表する。parcel数が少ないと統計誤差が大きくなる。

Rosin-Rammler分布が最も一般的だ。

$\bar{d}$ は平均径（質量の63.2%がこれ以下）、$n$ は分布の広がりパラメータだ。実測の粒径分布データからフィッティングする。

DPM単体の機能としてはFluentが最も充実している。蒸発、燃焼、液滴分裂、壁面相互作用、VOF-to-DPM転換まで統合されている。ただし噴射+燃焼のトータルワークフローではCONVERGEのAMR自動メッシュが強力で、エンジン系ではCONVERGEの採用が増えている。

STAR-CCM+は最近のバージョンでLagrangian機能を大幅強化しており、ポリヘドラルメッシュとの組み合わせで複雑形状への適用が容易だ。

いくつかの方向性を見ていこう。

4-way coupling（粒子間衝突）を効率的に扱うために、O'Rourke（1981）の確率的衝突モデルやSommerfeld（2001）のstochastic inter-particle collisionモデルが研究されている。同一セル内のparcel間で確率的に衝突を判定する手法で、DEMより遥かに低コストだ。

乱流のDNS中でpoint particle（粒子径 < Kolmogorov長さスケール）を追跡し、既存の抗力モデルや乱流分散モデルの検証・改良を行う研究が活発だ。Maxey & Riley方程式に基づく精密な力のモデリングが行われている。

Preferential concentration（選択的集中）だ。慣性パラメータ $St = \tau_p / \tau_\eta$（Stokes数）が1程度の粒子は渦の外縁に集中する。この現象はDRWモデルでは再現困難で、改良型の乱流分散モデル（CRW: Continuous Random Walk等）の研究が進んでいる。

実際の粒子は球形ではない。繊維状、板状、不規則形状の粒子の抗力・揚力・トルクのモデリングが重要な研究テーマだ。形状係数（sphericity, aspect ratio）で補正する経験モデルや、DNSデータから機械学習で導出するモデルが提案されている。

DPMの粒子追跡は各parcelが独立に計算可能なため、GPUとの親和性が高い。Fluent 2024ではGPUソルバーでDPMをサポートし始めている。数百万parcelの追跡が大幅に高速化される見込みだ。

順番に見ていこう。

症状: 粒子が壁面を貫通して計算領域外に出る。

対策:

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