極分解 — CAE用語解説
極分解
変形勾配テンソルの分解
大変形の解析で「極分解」って出てくるんですが、何のための分解なんですか？
変形勾配テンソルFを「純粋な回転」と「純粋な伸縮」に分けるための数学的操作だよ。F = R・U（右極分解）またはF = V・R（左極分解）と書ける。Rが回転テンソル（直交テンソル）、UとVが伸縮テンソル（正定値対称テンソル）だ。剛体回転を取り除いた変形成分だけを取り出すのに使う。
なぜ回転と伸縮を分けることが重要なんですか？
材料の変形量は伸縮成分（ひずみ）によって決まり、回転部分はひずみに寄与しない。超弾性や弾塑性の構成則では、剛体回転を含まない正確な変形量（主伸び）が必要で、そのために極分解が使われる。客観的な応力更新アルゴリズム（JaumannやGreen-Naghdi）とも深く関係する概念だ。
CAEソルバーでの位置づけ
計算はどうやってするんですか？
FをF^T・Fを計算して固有値分解を経由してUを求め、R = F・U^-1で得る。数値的には特異値分解（SVD）を使う方法が安定で、Eigen・LAPACK等の線形代数ライブラリで実装できる。ABAQUSやLS-DYNAなどの商用コードは内部で毎ステップこの計算を実施している。
エンジニアが極分解を直接意識する場面ってありますか？
UMATやVUMATなどのユーザー定義材料サブルーチンを書くときだ。ABAQUS UMATの引数には変形勾配Fが渡されるので、独自の構成則を正しく実装するには極分解の理解が必要になる。ゴムや生体軟組織の超弾性モデル開発では必須知識だよ。
関連用語
CAE用語の正確な理解は、チーム内のコミュニケーションの基盤です。 — Project NovaSolverは実務者の学習支援も視野に入れています。
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